Номер 12.21, страница 99 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 12. Уравнения и неравенства, содержащие знак модуля - номер 12.21, страница 99.

Условие.

12.21. Решите неравенство:

1) $|x+2| < 2x-1$;
2) $5x+3 \ge |x+1|$;
3) $|3x-2| \ge 2x+1$;
4) $|3x-5| > 9x+1$.

Решение.

1) $|x + 2| < 2x - 1$

Данное неравенство равносильно системе:

$ \begin{cases} 2x - 1 > 0 \\ -(2x - 1) < x + 2 < 2x - 1 \end{cases} $

Из первого неравенства $2x - 1 > 0$ следует, что $2x > 1$, то есть $x > \frac{1}{2}$. Это является необходимым условием, так как модуль числа не может быть меньше отрицательного числа.

Второе двойное неравенство $-(2x - 1) < x + 2 < 2x - 1$ можно разбить на систему из двух неравенств:

$ \begin{cases} x + 2 < 2x - 1 \\ x + 2 > -(2x - 1) \end{cases} $

Решим первое неравенство этой системы:

$x + 2 < 2x - 1$

$2 + 1 < 2x - x$

$3 < x$

Решим второе неравенство этой системы:

$x + 2 > -2x + 1$

$x + 2x > 1 - 2$

$3x > -1$

$x > -\frac{1}{3}$

Теперь необходимо найти пересечение всех полученных условий: $x > \frac{1}{2}$, $x > 3$ и $x > -\frac{1}{3}$.

Общим решением, удовлетворяющим всем трём условиям, является $x > 3$.

Ответ: $(3; +\infty)$

2) $5x + 3 \geq |x + 1|$

Данное неравенство равносильно системе:

$ \begin{cases} 5x + 3 \geq x + 1 \\ 5x + 3 \geq -(x + 1) \end{cases} $

Решим первое неравенство системы:

$5x - x \geq 1 - 3$

$4x \geq -2$

$x \geq -\frac{2}{4}$

$x \geq -\frac{1}{2}$

Решим второе неравенство системы:

$5x + 3 \geq -x - 1$

$5x + x \geq -1 - 3$

$6x \geq -4$

$x \geq -\frac{4}{6}$

$x \geq -\frac{2}{3}$

Найдем пересечение решений $x \geq -\frac{1}{2}$ и $x \geq -\frac{2}{3}$. Так как $-\frac{1}{2} = -0.5$, а $-\frac{2}{3} \approx -0.67$, то условие $x \geq -\frac{1}{2}$ является более строгим.

Пересечением будет промежуток $x \geq -\frac{1}{2}$.

Ответ: $[-\frac{1}{2}; +\infty)$

3) $|3x - 2| \geq 2x + 1$

Данное неравенство равносильно совокупности двух неравенств:

$3x - 2 \geq 2x + 1$ или $3x - 2 \leq -(2x + 1)$

Решим первое неравенство:

$3x - 2x \geq 1 + 2$

$x \geq 3$

Решим второе неравенство:

$3x - 2 \leq -2x - 1$

$3x + 2x \leq 2 - 1$

$5x \leq 1$

$x \leq \frac{1}{5}$

Решением является объединение полученных промежутков.

Ответ: $(-\infty; \frac{1}{5}] \cup [3; +\infty)$

4) $|3x - 5| > 9x + 1$

Данное неравенство равносильно совокупности двух неравенств:

$3x - 5 > 9x + 1$ или $3x - 5 < -(9x + 1)$

Решим первое неравенство:

$3x - 9x > 1 + 5$

$-6x > 6$

$x < -1$ (знак неравенства меняется при делении на отрицательное число)

Решим второе неравенство:

$3x - 5 < -9x - 1$

$3x + 9x < 5 - 1$

$12x < 4$

$x < \frac{4}{12}$

$x < \frac{1}{3}$

Объединяем полученные решения: $x < -1$ или $x < \frac{1}{3}$.

Объединением этих двух множеств является множество $x < \frac{1}{3}$.

Ответ: $(-\infty; \frac{1}{3})$