Номер 12.23, страница 99 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 12. Уравнения и неравенства, содержащие знак модуля - номер 12.23, страница 99.

Условие.

12.23. Решите уравнение:

1) $|x+3|-|5-2x|=2-3x;$

2) $|x-3|+2|x+1|=4;$

3) $|x-1|+|x-2|=|x-3|+4;$

4) $|x+5|+|x-8|=13;$

5) $|x|-|x-2|=2;$

6) $|7x-12|-|7x-11|=1;$

7) $\frac{|x-6|}{3-|x-3|}=1;$

8) $\frac{|x|+|x+1|-1}{|x|-|x-2|+2}=1.$

Решение.

1)

Дано уравнение $|x + 3| - |5 - 2x| = 2 - 3x$.

Для решения уравнения с модулями используем метод интервалов. Найдем точки, в которых выражения под модулем обращаются в ноль:
$x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3$
$5 - 2x = 0 \Rightarrow 2x = 5 \Rightarrow x = 2.5$

Эти точки делят числовую прямую на три интервала: $(-\infty; -3)$, $[-3; 2.5)$ и $[2.5; +\infty)$. Раскроем модули на каждом интервале.

1. При $x \in (-\infty; -3)$:
$x+3 < 0 \Rightarrow |x+3| = -(x+3)$
$5-2x > 0 \Rightarrow |5-2x| = 5-2x$
Уравнение принимает вид:
$-(x+3) - (5-2x) = 2-3x$
$-x-3-5+2x = 2-3x$
$x-8 = 2-3x$
$4x = 10 \Rightarrow x = 2.5$
Корень $x=2.5$ не принадлежит интервалу $(-\infty; -3)$, следовательно, на этом интервале решений нет.

2. При $x \in [-3; 2.5)$:
$x+3 \ge 0 \Rightarrow |x+3| = x+3$
$5-2x > 0 \Rightarrow |5-2x| = 5-2x$
Уравнение принимает вид:
$(x+3) - (5-2x) = 2-3x$
$x+3-5+2x = 2-3x$
$3x-2 = 2-3x$
$6x=4 \Rightarrow x = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$
Корень $x=2/3$ принадлежит интервалу $[-3; 2.5)$, следовательно, является решением.

3. При $x \in [2.5; +\infty)$:
$x+3 > 0 \Rightarrow |x+3| = x+3$
$5-2x \le 0 \Rightarrow |5-2x| = -(5-2x) = 2x-5$
Уравнение принимает вид:
$(x+3) - (2x-5) = 2-3x$
$x+3-2x+5 = 2-3x$
$-x+8 = 2-3x$
$2x = -6 \Rightarrow x = -3$
Корень $x=-3$ не принадлежит интервалу $[2.5; +\infty)$, следовательно, на этом интервале решений нет.

Единственное решение уравнения: $x = 2/3$.

Ответ: $\frac{2}{3}$

2)

Дано уравнение $|x - 3| + 2|x + 1| = 4$.

Найдем нули подмодульных выражений: $x=3$ и $x=-1$.
Рассмотрим три интервала: $(-\infty; -1)$, $[-1; 3)$ и $[3; +\infty)$.

1. При $x \in (-\infty; -1)$:
$-(x-3) + 2(-(x+1)) = 4$
$-x+3 -2x-2 = 4$
$-3x+1 = 4$
$-3x=3 \Rightarrow x=-1$
Корень $x=-1$ не входит в интервал $(-\infty; -1)$.

2. При $x \in [-1; 3)$:
$-(x-3) + 2(x+1) = 4$
$-x+3+2x+2=4$
$x+5=4 \Rightarrow x=-1$
Корень $x=-1$ входит в интервал $[-1; 3)$ и является решением.

3. При $x \in [3; +\infty)$:
$(x-3) + 2(x+1) = 4$
$x-3+2x+2=4$
$3x-1=4$
$3x=5 \Rightarrow x=5/3$
Корень $x=5/3 \approx 1.67$ не входит в интервал $[3; +\infty)$.

Единственное решение: $x=-1$.

Ответ: $-1$

3)

Дано уравнение $|x - 1| + |x - 2| = |x - 3| + 4$.

Нули подмодульных выражений: $x=1, x=2, x=3$.
Рассмотрим четыре интервала: $(-\infty; 1)$, $[1; 2)$, $[2; 3)$ и $[3; +\infty)$.

1. При $x \in (-\infty; 1)$:
$-(x-1) - (x-2) = -(x-3) + 4$
$-x+1-x+2 = -x+3+4$
$-2x+3 = -x+7$
$-x=4 \Rightarrow x=-4$
Корень $x=-4$ принадлежит интервалу, значит, является решением.

2. При $x \in [1; 2)$:
$(x-1) - (x-2) = -(x-3) + 4$
$x-1-x+2 = -x+3+4$
$1 = -x+7 \Rightarrow x=6$
Корень $x=6$ не принадлежит интервалу.

3. При $x \in [2; 3)$:
$(x-1) + (x-2) = -(x-3) + 4$
$2x-3 = -x+3+4$
$2x-3 = -x+7$
$3x=10 \Rightarrow x=10/3$
Корень $x=10/3 \approx 3.33$ не принадлежит интервалу.

4. При $x \in [3; +\infty)$:
$(x-1) + (x-2) = (x-3) + 4$
$2x-3 = x+1$
$x=4$
Корень $x=4$ принадлежит интервалу, значит, является решением.

Решения уравнения: $x=-4$ и $x=4$.

Ответ: $-4; 4$

4)

Дано уравнение $|x + 5| + |x - 8| = 13$.

Рассмотрим геометрический смысл уравнения. Выражение $|x - a|$ — это расстояние на числовой оси от точки $x$ до точки $a$. Уравнение можно переписать в виде $|x - (-5)| + |x - 8| = 13$. Это означает, что сумма расстояний от точки $x$ до точек $-5$ и $8$ равна $13$.
Расстояние между точками $-5$ и $8$ равно $|8 - (-5)| = 13$. Сумма расстояний от точки $x$ до концов отрезка равна длине этого отрезка тогда и только тогда, когда точка $x$ лежит на этом отрезке. Следовательно, решением является любой $x$ из отрезка $[-5, 8]$.

Ответ: $[-5; 8]$

5)

Дано уравнение $|x| - |x - 2| = 2$.

Рассмотрим геометрический смысл: расстояние от $x$ до $0$ минус расстояние от $x$ до $2$ равно $2$.
Пусть $d_0 = |x-0|$ и $d_2 = |x-2|$. Уравнение имеет вид $d_0 - d_2 = 2$.
1. Если $x \ge 2$, то $x$ находится правее или совпадает с точкой $2$. Расстояние до $0$ равно $x$, а до $2$ равно $x-2$. Тогда $x - (x-2) = 2 \Rightarrow 2=2$. Это верно для всех $x \ge 2$.
2. Если $0 \le x < 2$, то $x$ находится между $0$ и $2$. $x - (2-x) = 2 \Rightarrow 2x-2=2 \Rightarrow 2x=4 \Rightarrow x=2$. Точка $x=2$ не входит в этот интервал, но является граничной и была рассмотрена в п.1.
3. Если $x < 0$, то $x$ находится левее $0$. $-x - (2-x) = 2 \Rightarrow -x-2+x=2 \Rightarrow -2=2$. Неверно.
Таким образом, решением является множество всех $x \ge 2$.

Ответ: $[2; +\infty)$

6)

Дано уравнение $|7x - 12| - |7x - 11| = 1$.

Сделаем замену $y = 7x$. Уравнение примет вид $|y - 12| - |y - 11| = 1$.
Геометрически это означает, что расстояние от точки $y$ до $12$ минус расстояние от точки $y$ до $11$ равно $1$.
Рассмотрим положение точки $y$ относительно точек $11$ и $12$.
1. Если $y \le 11$, то $y$ левее или совпадает с точкой $11$. Расстояние до $12$ равно $12-y$, до $11$ равно $11-y$. Тогда $(12-y)-(11-y)=1 \Rightarrow 1=1$. Это верно для всех $y \le 11$.
2. Если $11 < y < 12$, то $y$ между $11$ и $12$. $(12-y)-(y-11)=1 \Rightarrow 23-2y=1 \Rightarrow 2y=22 \Rightarrow y=11$. Это значение не входит в интервал.
3. Если $y \ge 12$, то $y$ правее или совпадает с точкой $12$. $(y-12)-(y-11)=1 \Rightarrow -1=1$. Неверно.
Решением для $y$ является $y \le 11$.
Вернемся к переменной $x$:
$7x \le 11 \Rightarrow x \le \frac{11}{7}$.

Ответ: $(-\infty; \frac{11}{7}]$

7)

Дано уравнение $\frac{|x - 6|}{3 - |x - 3|} = 1$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не должен быть равен нулю.
$3 - |x - 3| \ne 0 \implies |x - 3| \ne 3$.
Отсюда $x-3 \ne 3$ и $x-3 \ne -3$, то есть $x \ne 6$ и $x \ne 0$.

Преобразуем уравнение:
$|x - 6| = 3 - |x - 3|$
Поскольку левая часть неотрицательна, правая часть также должна быть неотрицательной: $3 - |x - 3| \ge 0 \implies |x - 3| \le 3$.
$-3 \le x - 3 \le 3 \implies 0 \le x \le 6$.

Перенесем модуль в левую часть: $|x - 6| + |x - 3| = 3$.
Геометрический смысл этого уравнения: сумма расстояний от точки $x$ до точек $3$ и $6$ равна $3$. Расстояние между точками $3$ и $6$ как раз равно $3$. Следовательно, точка $x$ должна лежать на отрезке $[3, 6]$.

Теперь объединим все условия:
1. ОДЗ: $x \ne 0, x \ne 6$.
2. Условие неотрицательности: $x \in [0, 6]$.
3. Решение уравнения: $x \in [3, 6]$.
Пересечение этих множеств дает $x \in [3, 6)$.

Ответ: $[3; 6)$

8)

Дано уравнение $\frac{|x| + |x + 1| - 1}{|x| - |x - 2| + 2} = 1$.

Найдем ОДЗ. Знаменатель не равен нулю: $|x| - |x - 2| + 2 \ne 0$.
Рассмотрим знаменатель $f(x) = |x| - |x - 2| + 2$ на разных интервалах:
1. При $x < 0$: $f(x) = -x - (-(x-2)) + 2 = -x + x - 2 + 2 = 0$. Знаменатель равен 0, значит, при $x<0$ решений нет.
2. При $0 \le x < 2$: $f(x) = x - (-(x-2)) + 2 = x + x - 2 + 2 = 2x$. Условие $2x \ne 0$ дает $x \ne 0$.
3. При $x \ge 2$: $f(x) = x - (x-2) + 2 = x-x+2+2 = 4$. $4 \ne 0$, поэтому все $x \ge 2$ входят в ОДЗ.
Таким образом, ОДЗ: $x > 0$.

На ОДЗ уравнение равносильно тому, что числитель равен знаменателю:
$|x| + |x + 1| - 1 = |x| - |x - 2| + 2$
$|x + 1| - 1 = -|x - 2| + 2$
$|x + 1| + |x - 2| = 3$.

Геометрический смысл: сумма расстояний от $x$ до $-1$ и до $2$ равна $3$. Расстояние между точками $-1$ и $2$ равно $|2 - (-1)| = 3$. Это означает, что $x$ лежит на отрезке $[-1, 2]$.

Пересекая полученное решение $x \in [-1, 2]$ с ОДЗ $x > 0$, получаем итоговый ответ.

Ответ: $(0; 2]$