Номер 12.27, страница 99 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 12. Уравнения и неравенства, содержащие знак модуля - номер 12.27, страница 99.

Условие.

12.27. Постройте график функции $y = |x + 2| + 2 |x - 1| - x$.

Решение.

Для построения графика функции $y = |x + 2| + 2|x - 1| - x$ необходимо раскрыть модули. Выражения под знаком модуля, $x+2$ и $x-1$, обращаются в ноль при $x = -2$ и $x = 1$ соответственно. Эти точки делят числовую ось на три промежутка, на каждом из которых мы раскроем модули, учитывая знаки подмодульных выражений.

На промежутке $x < -2$ оба подмодульных выражения отрицательны ($x + 2 < 0$ и $x - 1 < 0$), поэтому $|x + 2| = -(x + 2)$ и $|x - 1| = -(x - 1)$. Функция принимает вид:$y = -(x + 2) + 2(-(x - 1)) - x = -x - 2 - 2x + 2 - x = -4x$. Таким образом, на этом промежутке график функции совпадает с графиком прямой $y = -4x$.

На промежутке $-2 \le x < 1$ выражение $x + 2 \ge 0$, а выражение $x - 1 < 0$. Поэтому $|x + 2| = x + 2$ и $|x - 1| = -(x - 1)$. Функция принимает вид:$y = (x + 2) + 2(-(x - 1)) - x = x + 2 - 2x + 2 - x = -2x + 4$. На этом промежутке график функции совпадает с графиком прямой $y = -2x + 4$.

На промежутке $x \ge 1$ оба подмодульных выражения неотрицательны ($x + 2 > 0$ и $x - 1 \ge 0$). Поэтому $|x + 2| = x + 2$ и $|x - 1| = x - 1$. Функция принимает вид:$y = (x + 2) + 2(x - 1) - x = x + 2 + 2x - 2 - x = 2x$. На этом промежутке график функции совпадает с графиком прямой $y = 2x$.

В результате мы получили кусочно-линейную функцию:$y = \begin{cases}-4x, & \text{если } x < -2 \\-2x + 4, & \text{если } -2 \le x < 1 \\2x, & \text{если } x \ge 1\end{cases}$

График этой функции состоит из частей трех прямых. Для его построения найдем координаты точек "излома" и по одной дополнительной точке для крайних лучей.

Найдем ординату первой точки излома при $x = -2$:$y(-2) = -2(-2) + 4 = 8$. Координаты точки: $(-2; 8)$.

Найдем ординату второй точки излома при $x = 1$:$y(1) = 2(1) = 2$. Координаты точки: $(1; 2)$.

Для построения первого луча ($y = -4x$ при $x < -2$) возьмем контрольную точку, например, $x = -3$:$y(-3) = -4(-3) = 12$. Координаты точки: $(-3; 12)$.

Для построения второго луча ($y = 2x$ при $x \ge 1$) возьмем контрольную точку, например, $x = 2$:$y(2) = 2(2) = 4$. Координаты точки: $(2; 4)$.

Таким образом, график функции — это ломаная линия. Она состоит из луча, выходящего из точки $(-2; 8)$ и проходящего через точку $(-3; 12)$; отрезка, соединяющего точки $(-2; 8)$ и $(1; 2)$; и луча, выходящего из точки $(1; 2)$ и проходящего через точку $(2; 4)$.

Ответ: График функции представляет собой ломаную линию, состоящую из трех частей: луча $y=-4x$ на промежутке $(-\infty; -2]$, отрезка $y=-2x+4$ на промежутке $[-2; 1]$ и луча $y=2x$ на промежутке $[1; +\infty)$. Точки излома графика: $(-2; 8)$ и $(1; 2)$.