Номер 12.32, страница 100 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 12. Уравнения и неравенства, содержащие знак модуля - номер 12.32, страница 100.

Условие.

12.32. Упростите выражение

$(\frac{a}{8} + \frac{1}{6a} + \frac{1}{3}) \cdot \left(\frac{a+2}{12a}\right)^{-1} \cdot (3a+2)^{-1}$

Решение.

Для упрощения выражения выполним действия по шагам.

1. Преобразуем выражение в первой скобке, приведя дроби к общему знаменателю $24a$:

$$ \left(\frac{a}{8} + \frac{1}{6a} + \frac{1}{3}\right) = \frac{a \cdot 3a}{8 \cdot 3a} + \frac{1 \cdot 4}{6a \cdot 4} + \frac{1 \cdot 8a}{3 \cdot 8a} = \frac{3a^2 + 4 + 8a}{24a} = \frac{3a^2 + 8a + 4}{24a} $$

Разложим числитель $3a^2 + 8a + 4$ на множители. Для этого решим квадратное уравнение $3a^2 + 8a + 4 = 0$.
Дискриминант $D = 8^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 64 - 48 = 16$.
Корни уравнения: $a_1 = \frac{-8 - \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{-12}{6} = -2$; $a_2 = \frac{-8 + \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$.
Следовательно, $3a^2 + 8a + 4 = 3(a - (-2))(a - (-\frac{2}{3})) = 3(a+2)(a+\frac{2}{3}) = (3a+2)(a+2)$.
Таким образом, выражение в первой скобке равно:

$$ \frac{(3a+2)(a+2)}{24a} $$

2. Упростим второй и третий множители, используя свойство степени $x^{-1} = \frac{1}{x}$:

$$ \left(\frac{a+2}{12a}\right)^{-1} = \frac{12a}{a+2} $$

$$ (3a+2)^{-1} = \frac{1}{3a+2} $$

3. Перемножим полученные упрощенные выражения:

$$ \frac{(3a+2)(a+2)}{24a} \cdot \frac{12a}{a+2} \cdot \frac{1}{3a+2} $$

4. Сократим общие множители в числителе и знаменателе:

$$ \frac{\cancel{(3a+2)}\cancel{(a+2)} \cdot 12a}{24a \cdot \cancel{(a+2)} \cdot \cancel{(3a+2)}} = \frac{12a}{24a} $$

Сокращаем $12a$ и $24a$ на $12a$:

$$ \frac{12a}{24a} = \frac{1}{2} $$

Ответ: $\frac{1}{2}$