Номер 13.5, страница 108 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 13. Функция y = x² и её график - номер 13.5, страница 108.

Условие.

13.5. Определите графически количество решений системы уравнений:

1) $\begin{cases} y = x^2, \\ 3x + 2y = -6; \end{cases}$

2) $\begin{cases} y = x^2, \\ x - 3y = -3. \end{cases}$

Решение.

1)

Чтобы графически определить количество решений системы уравнений $\begin{cases} y = x^2, \\ 3x + 2y = -6 \end{cases}$, необходимо построить графики каждого уравнения в одной системе координат и найти количество их точек пересечения.

Первое уравнение, $y = x^2$, задает параболу. Вершина этой параболы находится в начале координат (0, 0), а её ветви направлены вверх.

Второе уравнение, $3x + 2y = -6$, является линейным, его график — прямая. Для удобства построения выразим $y$ через $x$:

$2y = -3x - 6$

$y = -\frac{3}{2}x - 3$

Найдем две точки, через которые проходит эта прямая, например, точки пересечения с осями координат:

• Если $x = 0$, то $y = -3$. Точка пересечения с осью OY: (0, -3).
• Если $y = 0$, то $0 = -\frac{3}{2}x - 3$, откуда $\frac{3}{2}x = -3$, и $x = -2$. Точка пересечения с осью OX: (-2, 0).

Изобразим графики. Парабола $y = x^2$ целиком лежит в верхней полуплоскости ($y \geq 0$). Прямая $y = -\frac{3}{2}x - 3$ проходит через точки (0, -3) и (-2, 0), то есть находится ниже параболы вблизи оси OY и пересекает ось OX левее начала координат. Из взаимного расположения графиков видно, что они не имеют общих точек.

Для подтверждения вывода решим систему аналитически. Подставим $y = x^2$ во второе уравнение:

$3x + 2(x^2) = -6$

$2x^2 + 3x + 6 = 0$

Вычислим дискриминант полученного квадратного уравнения: $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 9 - 48 = -39$.

Поскольку дискриминант $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней, что подтверждает отсутствие точек пересечения у графиков.

Ответ: 0.

2)

Рассмотрим систему уравнений $\begin{cases} y = x^2, \\ x - 3y = -3 \end{cases}$.

Как и в предыдущем случае, построим графики обоих уравнений.

График первого уравнения — парабола $y = x^2$ с вершиной в точке (0, 0).

Второе уравнение, $x - 3y = -3$, является линейным. Выразим $y$ через $x$:

$-3y = -x - 3$

$y = \frac{1}{3}x + 1$

Найдем две точки для построения прямой:

• Если $x = 0$, то $y = 1$. Точка пересечения с осью OY: (0, 1).
• Если $y = 0$, то $0 = \frac{1}{3}x + 1$, откуда $\frac{1}{3}x = -1$, и $x = -3$. Точка пересечения с осью OX: (-3, 0).

Изобразим графики. Парабола $y = x^2$ имеет вершину в (0, 0). Прямая $y = \frac{1}{3}x + 1$ пересекает ось OY в точке (0, 1), которая находится выше вершины параболы. Поскольку прямая не вертикальна (имеет наклон), она пересечет обе ветви параболы. Следовательно, графики имеют две точки пересечения.

Проверим это аналитически. Подставим $y = x^2$ во второе уравнение:

$x - 3(x^2) = -3$

$-3x^2 + x + 3 = 0$

$3x^2 - x - 3 = 0$

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 1 + 36 = 37$.

Поскольку дискриминант $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Это означает, что графики пересекаются в двух точках.

Ответ: 2.