Номер 13.10, страница 109 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 13. Функция y = x² и её график - номер 13.10, страница 109.

Условие.

13.10. Постройте график функции:

1) $y = \frac{x^3 + x^2}{x+1}$

2) $y = \frac{x^4 - 4x^2}{x^2 - 4}$

Решение.

1) $y = \frac{x^3 + x^2}{x + 1}$

Сначала найдем область определения функции. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, следовательно:

$x + 1 \neq 0$

$x \neq -1$

Область определения: $D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

Теперь упростим выражение для функции. Вынесем общий множитель в числителе за скобки:

$y = \frac{x^2(x + 1)}{x + 1}$

Поскольку $x \neq -1$, мы можем сократить дробь на $(x + 1)$:

$y = x^2$

Таким образом, график исходной функции совпадает с графиком функции $y = x^2$ для всех $x$, кроме $x = -1$. Графиком функции $y = x^2$ является парабола с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх.

Нам необходимо исключить из этого графика точку, в которой $x = -1$. Найдем ординату этой точки, подставив $x = -1$ в упрощенное уравнение:

$y = (-1)^2 = 1$

Следовательно, точка $(-1, 1)$ является выколотой (не принадлежит графику).

Ответ: Графиком функции является парабола $y = x^2$ с выколотой точкой $(-1, 1)$.

2) $y = \frac{x^4 - 4x^2}{x^2 - 4}$

Найдем область определения функции. Знаменатель не должен быть равен нулю:

$x^2 - 4 \neq 0$

$(x - 2)(x + 2) \neq 0$

Отсюда следует, что $x \neq 2$ и $x \neq -2$.

Область определения: $D(y) = (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$.

Упростим выражение для функции. Вынесем общий множитель $x^2$ в числителе:

$y = \frac{x^2(x^2 - 4)}{x^2 - 4}$

Так как $x^2 - 4 \neq 0$ в области определения, мы можем сократить дробь:

$y = x^2$

График исходной функции совпадает с графиком параболы $y = x^2$ при всех значениях $x$, за исключением $x = -2$ и $x = 2$.

Найдем ординаты выколотых точек, подставив значения $x$ в упрощенное уравнение:

Если $x = -2$, то $y = (-2)^2 = 4$.

Если $x = 2$, то $y = (2)^2 = 4$.

Таким образом, из параболы $y = x^2$ необходимо выколоть точки с координатами $(-2, 4)$ и $(2, 4)$.

Ответ: Графиком функции является парабола $y = x^2$ с выколотыми точками $(-2, 4)$ и $(2, 4)$.