Номер 13.6, страница 108 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 13. Функция y = x² и её график - номер 13.6, страница 108.

Условие.

13.6. Функция f задана кусочно: $f(x) = \begin{cases} 4, & \text{если } x \le -2 \\ x^2, & \text{если } -2 < x < 1 \\ 2x - 1, & \text{если } x \ge 1 \end{cases}$

1) Найдите $f(-3)$, $f(-2)$, $f(-1)$, $f(1)$, $f(3)$, $f(0,5)$.

2) Постройте график данной функции.

Решение.

1) Найдите f(-3), f(-2), f(-1), f(1), f(3), f(0,5).

Для нахождения значения функции $f(x)$ в заданной точке необходимо определить, какому из трех промежутков принадлежит значение аргумента $x$, и подставить его в соответствующую формулу.

• Найдем $f(-3)$. Аргумент $x = -3$ удовлетворяет условию $x \le -2$. Следовательно, используем формулу $f(x) = 4$.
  $f(-3) = 4$.

• Найдем $f(-2)$. Аргумент $x = -2$ удовлетворяет условию $x \le -2$. Следовательно, используем формулу $f(x) = 4$.
  $f(-2) = 4$.

• Найдем $f(-1)$. Аргумент $x = -1$ удовлетворяет условию $-2 < x < 1$. Следовательно, используем формулу $f(x) = x^2$.
  $f(-1) = (-1)^2 = 1$.

• Найдем $f(1)$. Аргумент $x = 1$ удовлетворяет условию $x \ge 1$. Следовательно, используем формулу $f(x) = 2x - 1$.
  $f(1) = 2 \cdot 1 - 1 = 1$.

• Найдем $f(3)$. Аргумент $x = 3$ удовлетворяет условию $x \ge 1$. Следовательно, используем формулу $f(x) = 2x - 1$.
  $f(3) = 2 \cdot 3 - 1 = 6 - 1 = 5$.

• Найдем $f(0,5)$. Аргумент $x = 0,5$ удовлетворяет условию $-2 < x < 1$. Следовательно, используем формулу $f(x) = x^2$.
  $f(0,5) = (0,5)^2 = 0,25$.

Ответ: $f(-3) = 4$; $f(-2) = 4$; $f(-1) = 1$; $f(1) = 1$; $f(3) = 5$; $f(0,5) = 0,25$.

2) Постройте график данной функции.

График данной кусочной функции состоит из трех частей, построенных на соответствующих интервалах.

1. На промежутке $(-\infty, -2]$ функция имеет вид $f(x) = 4$. Это горизонтальная прямая (луч), проходящая через точку $(-2, 4)$ и идущая влево. Точка $(-2, 4)$ принадлежит графику, так как неравенство нестрогое ($x \le -2$).

2. На промежутке $(-2, 1)$ функция имеет вид $f(x) = x^2$. Это часть параболы с ветвями вверх и вершиной в точке $(0, 0)$. Границы этого участка – точки, соответствующие $x = -2$ и $x = 1$.
   При $x \to -2$, $y \to (-2)^2 = 4$. Точка $(-2, 4)$ является "выколотой" для этой части графика.
   При $x \to 1$, $y \to 1^2 = 1$. Точка $(1, 1)$ также является "выколотой".
   Между этими границами парабола проходит через вершину $(0, 0)$ и точку $(-1, 1)$.

3. На промежутке $[1, +\infty)$ функция имеет вид $f(x) = 2x - 1$. Это прямая линия (луч). Найдем две точки, чтобы построить ее.
   Начальная точка при $x=1$: $f(1) = 2 \cdot 1 - 1 = 1$. Точка $(1, 1)$ принадлежит графику, так как неравенство нестрогое ($x \ge 1$).
   Возьмем еще одну точку, например $x=3$: $f(3) = 2 \cdot 3 - 1 = 5$. Прямая проходит через точку $(3, 5)$.

Соединяем все три части на координатной плоскости. В точке $x = -2$ значение первой части графика равно 4, и предел второй части при $x \to -2$ также равен 4, поэтому разрыва нет. В точке $x = 1$ предел второй части графика равен 1, и значение третьей части также равно 1, поэтому здесь разрыва тоже нет. Функция является непрерывной.

Ответ: График функции состоит из трех частей: 1) горизонтального луча $y=4$ на промежутке $(-\infty, -2]$; 2) участка параболы $y=x^2$ с вершиной в $(0,0)$ на интервале $(-2, 1)$; 3) луча $y=2x-1$, выходящего из точки $(1, 1)$ на промежутке $[1, +\infty)$.