Номер 13.9, страница 108 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 13. Функция y = x² и её график - номер 13.9, страница 108.

Условие.

13.9. Дана функция $f(x) = \begin{cases} -\frac{6}{x}, & \text{если } x \le -1 \\ x^2, & \text{если } x > -1 \end{cases}$

1) Найдите $f(-12), f(-1), f(-0,9), f(3), f(0)$.

2) Постройте график данной функции.

Решение.

1) Для нахождения значений функции необходимо определить, к какому из двух промежутков принадлежит аргумент $x$, и использовать соответствующую формулу.

• Найдём $f(-12)$.

  Поскольку $-12 \le -1$, используем формулу $f(x) = -\frac{6}{x}$.

  $f(-12) = -\frac{6}{-12} = \frac{1}{2} = 0.5$.

• Найдём $f(-1)$.

  Поскольку $-1 \le -1$, используем формулу $f(x) = -\frac{6}{x}$.

  $f(-1) = -\frac{6}{-1} = 6$.

• Найдём $f(-0,9)$.

  Поскольку $-0,9 > -1$, используем формулу $f(x) = x^2$.

  $f(-0,9) = (-0,9)^2 = 0,81$.

• Найдём $f(3)$.

  Поскольку $3 > -1$, используем формулу $f(x) = x^2$.

  $f(3) = 3^2 = 9$.

• Найдём $f(0)$.

  Поскольку $0 > -1$, используем формулу $f(x) = x^2$.

  $f(0) = 0^2 = 0$.

Ответ: $f(-12) = 0.5$; $f(-1) = 6$; $f(-0,9) = 0,81$; $f(3) = 9$; $f(0) = 0$.

2) График данной кусочно-заданной функции состоит из двух частей, построенных на разных промежутках.

Первая часть: $y = -\frac{6}{x}$ при $x \le -1$.

Это часть графика обратной пропорциональности (гиперболы), расположенная во второй координатной четверти. Для построения найдем несколько ключевых точек на промежутке $(-\infty, -1]$:

• Граничная точка: при $x = -1$, $y = -\frac{6}{-1} = 6$. Точка $(-1, 6)$ принадлежит графику, так как неравенство нестрогое. На графике она будет закрашенной.

• Контрольные точки:

  • при $x = -2$, $y = -\frac{6}{-2} = 3$.

  • при $x = -3$, $y = -\frac{6}{-3} = 2$.

  • при $x = -6$, $y = -\frac{6}{-6} = 1$.

При $x$, стремящемся к минус бесконечности ($x \to -\infty$), значения $y$ стремятся к нулю ($y \to 0$), поэтому ось $Ox$ является горизонтальной асимптотой для этой части графика.

Вторая часть: $y = x^2$ при $x > -1$.

Это часть графика квадратичной функции (параболы), ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке $(0, 0)$.

Найдем координаты точек для построения на промежутке $(-1, +\infty)$:

• Граничная точка: при $x = -1$, $y = (-1)^2 = 1$. Точка $(-1, 1)$ не принадлежит графику, так как неравенство строгое ($x > -1$). На графике эта точка будет "выколотой" (незакрашенным кружком).

• Вершина параболы: при $x = 0$, $y = 0^2 = 0$. Точка $(0, 0)$ принадлежит графику.

• Контрольные точки:

  • при $x = 1$, $y = 1^2 = 1$.

  • при $x = 2$, $y = 2^2 = 4$.

Построение графика:

В одной системе координат строим обе части: сначала ветвь гиперболы, проходящую через точки $(-6, 1), (-3, 2), (-2, 3)$ и заканчивающуюся в закрашенной точке $(-1, 6)$; затем часть параболы, начинающуюся в выколотой точке $(-1, 1)$, проходящую через вершину $(0, 0)$ и далее через точки $(1, 1)$ и $(2, 4)$.

В точке $x = -1$ функция терпит разрыв.

Ответ: График функции состоит из двух частей: 1) ветви гиперболы $y = -\frac{6}{x}$ на луче $(-\infty, -1]$, заканчивающейся в точке $(-1, 6)$; 2) части параболы $y = x^2$ на интервале $(-1, +\infty)$, начинающейся в выколотой точке $(-1, 1)$ и проходящей через вершину $(0, 0)$.