Номер 13.15, страница 109 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 13. Функция y = x² и её график - номер 13.15, страница 109.

Условие.

13.15. Задайте кусочно функцию, график которой изображён на рисунке 13.5.

а) $ f(x) = \begin{cases} x^2, & x \le 0 \\ 0, & 0 < x < 1 \\ 1, & x \ge 1 \end{cases} $

б) $ f(x) = \begin{cases} 1, & x < 0 \\ (2x-1)^2, & 0 \le x \le 1 \\ 1, & x > 1 \end{cases} $

Рис. 13.5

Решение.

а

График функции, изображенный на рисунке, состоит из двух частей. Проанализируем каждую из них.

1. Левая часть графика определена для $x \le 0$. Она представляет собой ветвь параболы, вершина которой находится в начале координат $(0, 0)$. Общий вид уравнения такой параболы — $y = kx^2$. Чтобы найти коэффициент $k$, возьмем любую точку на этой ветви, например, $(-1, 1)$. Подставим ее координаты в уравнение: $1 = k \cdot (-1)^2$, откуда $k=1$. Таким образом, при $x \le 0$ функция задается формулой $y = x^2$.

2. Правая часть графика определена для $x > 0$. Это горизонтальная прямая, проходящая на уровне $y=1$. Следовательно, при $x > 0$ функция задается формулой $y = 1$.

Объединив обе части, получаем искомую кусочную функцию:

$y = \begin{cases} x^2, & \text{если } x \le 0 \\ 1, & \text{если } x > 0 \end{cases}$

Ответ: $y = \begin{cases} x^2, & \text{если } x \le 0 \\ 1, & \text{если } x > 0 \end{cases}$

б

График функции, изображенный на рисунке, состоит из трех частей. Проанализируем каждую из них.

1. Левая часть графика определена для $x \le -2$. Это горизонтальная прямая, проходящая на уровне $y=4$. Следовательно, при $x \le -2$ функция задается формулой $y=4$.

2. Центральная часть графика определена на интервале $-2 < x < 2$. Она представляет собой часть параболы с вершиной в начале координат $(0, 0)$. Как и в предыдущем случае, уравнение этой параболы $y = x^2$. Проверим это по точкам на графике: $(-1, 1)$, $(1, 1)$. Также на границах интервала значения функции совпадают со значениями на соседних участках: при $x=-2$ имеем $y=(-2)^2=4$, а при $x=2$ имеем $y=2^2=4$.

3. Правая часть графика определена для $x \ge 2$. Это также горизонтальная прямая, проходящая на уровне $y=4$. Следовательно, при $x \ge 2$ функция задается формулой $y=4$.

Объединив все три части, получаем искомую кусочную функцию:

$y = \begin{cases} 4, & \text{если } x \le -2 \\ x^2, & \text{если } -2 < x < 2 \\ 4, & \text{если } x \ge 2 \end{cases}$

Заметим, что эту функцию можно записать более компактно, используя знак модуля:

$y = \begin{cases} x^2, & \text{если } |x| < 2 \\ 4, & \text{если } |x| \ge 2 \end{cases}$

Ответ: $y = \begin{cases} 4, & \text{если } x \le -2 \\ x^2, & \text{если } -2 < x < 2 \\ 4, & \text{если } x \ge 2 \end{cases}$