Номер 13.22, страница 110 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 13. Функция y = x² и её график - номер 13.22, страница 110.

Условие.

13.22. Решите уравнение:

$\frac{6}{x-2} - \frac{x+3}{x} = \frac{x+6}{x^2-2x}$

Решение.

Для решения данного дробно-рационального уравнения необходимо сначала определить область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Знаменатели дробей не могут быть равны нулю.

1. $x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2$

2. $x \neq 0$

3. $x^2 - 2x \neq 0 \implies x(x-2) \neq 0 \implies x \neq 0$ и $x \neq 2$.

Таким образом, ОДЗ: $x$ может быть любым числом, кроме $0$ и $2$.

Исходное уравнение:

$$ \frac{6}{x-2} - \frac{x+3}{x} = \frac{x+6}{x^2 - 2x} $$

Заметим, что знаменатель правой части $x^2 - 2x$ можно разложить на множители: $x(x-2)$. Это и будет общим знаменателем для всех дробей в уравнении.

Приведем все дроби к общему знаменателю $x(x-2)$:

$$ \frac{6x}{x(x-2)} - \frac{(x+3)(x-2)}{x(x-2)} = \frac{x+6}{x(x-2)} $$

Теперь мы можем умножить обе части уравнения на общий знаменатель $x(x-2)$, чтобы избавиться от дробей (учитывая ОДЗ).

$$ 6x - (x+3)(x-2) = x+6 $$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$$ 6x - (x^2 - 2x + 3x - 6) = x+6 $$

$$ 6x - (x^2 + x - 6) = x+6 $$

$$ 6x - x^2 - x + 6 = x+6 $$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$$ -x^2 + 5x + 6 = x+6 $$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:

$$ -x^2 + 5x - x + 6 - 6 = 0 $$

$$ -x^2 + 4x = 0 $$

Умножим обе части на $-1$, чтобы коэффициент при $x^2$ стал положительным:

$$ x^2 - 4x = 0 $$

Это неполное квадратное уравнение. Вынесем $x$ за скобки:

$$ x(x-4) = 0 $$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных корня:

$x_1 = 0$

$x_2 - 4 = 0 \implies x_2 = 4$

Теперь необходимо проверить полученные корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 0, x \neq 2$).

Корень $x_1 = 0$ не удовлетворяет ОДЗ, следовательно, является посторонним корнем.

Корень $x_2 = 4$ удовлетворяет ОДЗ ($4 \neq 0$ и $4 \neq 2$), следовательно, является решением уравнения.

Ответ: $4$