Номер 13.17, страница 110 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 13. Функция y = x² и её график - номер 13.17, страница 110.

Условие.

13.17. Постройте график уравнения:

1) $(y - x^2)(y - x) = 0;$

2) $y^2 - x^4 = 0;$

3) $\frac{y - x^2}{(x - 1)^2 + (y - 1)^2} = 0;$

4) $\frac{y - x^2}{y - x} = 0.$

Решение.

1) $(y - x^2)(y - x) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

$y - x^2 = 0$ или $y - x = 0$.

Первое уравнение, $y = x^2$, задаёт параболу с вершиной в начале координат и ветвями, направленными вверх.

Второе уравнение, $y = x$, задаёт прямую, которая является биссектрисой первого и третьего координатных углов.

Графиком исходного уравнения является объединение графиков этих двух уравнений, то есть параболы $y = x^2$ и прямой $y = x$.

Ответ: Объединение параболы $y = x^2$ и прямой $y = x$.

2) $y^2 - x^4 = 0$

Разложим левую часть уравнения на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$y^2 - (x^2)^2 = 0$

$(y - x^2)(y + x^2) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем совокупность уравнений:

$y - x^2 = 0$ или $y + x^2 = 0$.

Из первого уравнения получаем $y = x^2$ — это парабола с вершиной в точке $(0, 0)$, ветви которой направлены вверх.

Из второго уравнения получаем $y = -x^2$ — это парабола с вершиной в точке $(0, 0)$, ветви которой направлены вниз.

График исходного уравнения является объединением этих двух парабол.

Ответ: Объединение двух парабол $y = x^2$ и $y = -x^2$.

3) $\frac{y - x^2}{(x - 1)^2 + (y - 1)^2} = 0$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это условие можно записать в виде системы:

$\begin{cases} y - x^2 = 0 \\ (x - 1)^2 + (y - 1)^2 \neq 0 \end{cases}$

Первое уравнение, $y = x^2$, задаёт параболу.

Второе условие, $(x - 1)^2 + (y - 1)^2 \neq 0$, означает, что знаменатель не должен обращаться в ноль. Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю только если оба числа равны нулю. То есть знаменатель равен нулю только при одновременном выполнении условий $x - 1 = 0$ и $y - 1 = 0$, что соответствует точке $(1, 1)$.

Следовательно, из графика уравнения $y = x^2$ необходимо исключить точку $(1, 1)$. Проверим, лежит ли эта точка на параболе: при $x = 1$, $y = 1^2 = 1$. Да, точка $(1, 1)$ принадлежит параболе $y = x^2$.

Таким образом, график исходного уравнения — это парабола $y = x^2$ с "выколотой" точкой $(1, 1)$.

Ответ: Парабола $y = x^2$ с выколотой точкой $(1, 1)$.

4) $\frac{y - x^2}{y - x} = 0$

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Запишем это в виде системы:

$\begin{cases} y - x^2 = 0 \\ y - x \neq 0 \end{cases}$

Из первого уравнения $y = x^2$ следует, что график является параболой.

Второе условие $y \neq x$ означает, что из графика параболы нужно исключить все точки, у которых ордината равна абсциссе. Чтобы найти эти точки, нужно найти точки пересечения графиков $y = x^2$ и $y = x$.

Приравняем правые части: $x^2 = x$.

$x^2 - x = 0$

$x(x - 1) = 0$

Решениями этого уравнения являются $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$.

Найдем соответствующие значения $y$:

При $x_1 = 0$, $y_1 = 0^2 = 0$. Точка пересечения — $(0, 0)$.

При $x_2 = 1$, $y_2 = 1^2 = 1$. Точка пересечения — $(1, 1)$.

Следовательно, график исходного уравнения — это парабола $y = x^2$, из которой исключены (выколоты) две точки: $(0, 0)$ и $(1, 1)$.

Ответ: Парабола $y = x^2$ с выколотыми точками $(0, 0)$ и $(1, 1)$.