Номер 13.12, страница 109 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 13. Функция y = x² и её график - номер 13.12, страница 109.

Условие.

13.12. Найдите область определения, область значений и нули функции $y = -x^2$. Постройте график этой функции.

Решение.

Область определения функции

Функция $y = -x^2$ является квадратичной функцией. Выражение $-x^2$ определено для любого действительного значения переменной $x$, так как нет операций деления на переменную или извлечения корня из переменной.
Следовательно, область определения функции — это множество всех действительных чисел.

Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Область значений функции

Область значений — это множество всех значений, которые может принимать функция $y$.
Для любого действительного числа $x$, его квадрат $x^2$ является неотрицательным числом, то есть $x^2 \ge 0$.
При умножении обеих частей этого неравенства на $-1$, знак неравенства меняется на противоположный: $-x^2 \le 0$.
Таким образом, значение функции $y = -x^2$ всегда меньше или равно нулю.
Следовательно, область значений функции — это множество всех не-положительных чисел.

Ответ: $E(y) = (-\infty; 0]$.

Нули функции

Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно нулю.
Чтобы найти нули, необходимо решить уравнение $y = 0$:
$-x^2 = 0$
Умножим обе части на $-1$:
$x^2 = 0$
Отсюда следует, что $x = 0$.
Функция имеет один нуль в точке $x = 0$.

Ответ: $x = 0$.

Построение графика функции

Графиком функции $y = -x^2$ является парабола. Данная парабола является отражением параболы $y = x^2$ относительно оси абсцисс ($Ox$).
Основные свойства графика:
1. Вершина параболы находится в точке $(0, 0)$.
2. Ветви параболы направлены вниз.
3. График симметричен относительно оси ординат ($Oy$).
Для построения графика составим таблицу значений для нескольких точек:

$x$	-3	-2	-1	0	1	2	3
$y = -x^2$	-9	-4	-1	0	-1	-4	-9

Отметим эти точки на координатной плоскости и соединим их плавной кривой.

Ответ: График функции — парабола с вершиной в начале координат и ветвями, направленными вниз.