Номер 13.19, страница 110 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 13. Функция y = x² и её график - номер 13.19, страница 110.

Условие.

13.19. Постройте график уравнения $(y-x)^2 + (y-x^2)^2 = 0$.

Решение.

Проанализируем данное уравнение: $(y-x)^2 + (y-x^2)^2 = 0$.

Левая часть уравнения представляет собой сумму двух квадратов. Поскольку квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, мы имеем $(y-x)^2 \ge 0$ и $(y-x^2)^2 \ge 0$.

Сумма двух неотрицательных слагаемых равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из этих слагаемых равно нулю. Следовательно, данное уравнение равносильно системе уравнений:

$ \begin{cases} y - x = 0 \\ y - x^2 = 0 \end{cases} $

Из первого уравнения системы выразим $y$ через $x$, получим $y = x$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$x - x^2 = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(1 - x) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных значения для $x$:

$x_1 = 0$ или $1 - x = 0 \implies x_2 = 1$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$, используя равенство $y = x$:

Если $x_1 = 0$, то $y_1 = 0$. Мы получили точку с координатами $(0; 0)$.

Если $x_2 = 1$, то $y_2 = 1$. Мы получили точку с координатами $(1; 1)$.

Таким образом, график исходного уравнения состоит всего из двух точек на координатной плоскости.

Ответ: Графиком уравнения являются две точки: $(0; 0)$ и $(1; 1)$.