Номер 13.21, страница 110 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 13. Функция y = x² и её график - номер 13.21, страница 110.

Условие.

13.21. Докажите тождество:

$\frac{(a+b)^2}{a-b} : \left( \frac{a}{a-b} + \frac{a^2+b^2}{a^2-b^2} - \frac{a}{a+b} \right) = a+b.$

Решение.

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Сначала выполним действия в скобках, приведя дроби к общему знаменателю.

Общим знаменателем для дробей $\frac{a}{a-b}$, $\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}$ и $\frac{a}{a+b}$ является выражение $a^2-b^2$, так как $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$.

Приведем дроби к знаменателю $(a-b)(a+b)$:

$\frac{a}{a-b} + \frac{a^2+b^2}{a^2-b^2} - \frac{a}{a+b} = \frac{a(a+b)}{(a-b)(a+b)} + \frac{a^2+b^2}{(a-b)(a+b)} - \frac{a(a-b)}{(a-b)(a+b)}$

Теперь выполним сложение и вычитание дробей, работая с их числителями:

$\frac{a(a+b) + (a^2+b^2) - a(a-b)}{(a-b)(a+b)} = \frac{a^2+ab+a^2+b^2-a^2+ab}{a^2-b^2}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{(a^2+a^2-a^2) + (ab+ab) + b^2}{a^2-b^2} = \frac{a^2+2ab+b^2}{a^2-b^2}$

Числитель представляет собой формулу квадрата суммы $(a+b)^2$. Запишем выражение в виде:

$\frac{(a+b)^2}{a^2-b^2} = \frac{(a+b)^2}{(a-b)(a+b)}$

Сократим дробь на $(a+b)$ (при условии $a+b \neq 0$):

$\frac{a+b}{a-b}$

Теперь вернемся к исходному выражению и подставим результат, полученный в скобках:

$\frac{(a+b)^2}{a-b} : \frac{a+b}{a-b}$

Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на дробь, ей обратную:

$\frac{(a+b)^2}{a-b} \cdot \frac{a-b}{a+b}$

Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе (при условии $a-b \neq 0$ и $a+b \neq 0$):

$\frac{(a+b)^2 \cdot (a-b)}{(a-b) \cdot (a+b)} = a+b$

В результате преобразований левая часть оказалась равна правой части: $a+b = a+b$.

Ответ: Тождество доказано.