Номер 14.5, страница 116 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 14. Квадратные корни. Арифметический квадратный корень - номер 14.5, страница 116.

Условие.

14.5. Решите уравнение:

1) $\sqrt{x} = \frac{1}{4}$;

2) $\sqrt{x} - 0,2 = 0$;

3) $\sqrt{x} + 7 = 0$.

Решение.

1) Дано уравнение $\sqrt{x} = \frac{1}{4}$.

Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения определяется условием, что выражение под корнем должно быть неотрицательным, то есть $x \ge 0$.

Чтобы найти значение $x$, необходимо избавиться от знака квадратного корня. Для этого возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x})^2 = (\frac{1}{4})^2$

Выполняем возведение в степень:

$x = \frac{1^2}{4^2}$

$x = \frac{1}{16}$

Полученное значение $x = \frac{1}{16}$ удовлетворяет ОДЗ, так как $\frac{1}{16} \ge 0$.

Ответ: $x = \frac{1}{16}$.

2) Дано уравнение $\sqrt{x} - 0,2 = 0$.

ОДЗ: $x \ge 0$.

Сначала изолируем радикал (квадратный корень), перенеся $-0,2$ в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$\sqrt{x} = 0,2$

Теперь возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x})^2 = (0,2)^2$

$x = 0,04$

Значение $x = 0,04$ удовлетворяет ОДЗ, так как $0,04 \ge 0$.

Ответ: $x = 0,04$.

3) Дано уравнение $\sqrt{x} + 7 = 0$.

ОДЗ: $x \ge 0$.

Перенесем число $7$ в правую часть уравнения:

$\sqrt{x} = -7$

По определению, арифметический квадратный корень ($\sqrt{x}$) — это неотрицательное число. То есть, для любого допустимого значения $x$ должно выполняться неравенство $\sqrt{x} \ge 0$.

В полученном уравнении $\sqrt{x} = -7$ левая часть ($\sqrt{x}$) является неотрицательной, а правая часть ($-7$) — отрицательной. Равенство между неотрицательным и отрицательным числом невозможно.

Следовательно, данное уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: корней нет.