Номер 14.11, страница 116 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 14. Квадратные корни. Арифметический квадратный корень - номер 14.11, страница 116.

Условие.

14.11. Найдите область определения выражения:

1) $\sqrt{-x}$;

2) $\sqrt{x^2}$;

3) $\sqrt{-x^2}$;

4) $\sqrt{x^2 + 8}$;

5) $\sqrt{(x-8)^2}$;

6) $\sqrt{|x|}$.

Решение.

Область определения выражения (или область допустимых значений) для функции, содержащей квадратный корень, находится из условия, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть больше или равно нулю.

1) $ \sqrt{-x} $

Подкоренное выражение равно $ -x $. Чтобы выражение имело смысл, должно выполняться неравенство:

$ -x \ge 0 $

Умножим обе части неравенства на -1, при этом знак неравенства изменится на противоположный:

$ x \le 0 $

Область определения — это все действительные числа, меньшие или равные нулю, то есть промежуток $ (-\infty; 0] $.

Ответ: $ x \le 0 $.

2) $ \sqrt{x^2} $

Подкоренное выражение равно $ x^2 $. Неравенство для области определения:

$ x^2 \ge 0 $

Квадрат любого действительного числа всегда является неотрицательным числом. Следовательно, это неравенство справедливо для любого значения $ x $.

Ответ: $ x $ - любое число.

3) $ \sqrt{-x^2} $

Подкоренное выражение равно $ -x^2 $. Неравенство для области определения:

$ -x^2 \ge 0 $

Поскольку $ x^2 \ge 0 $ для любого $ x $, то $ -x^2 \le 0 $. Таким образом, неравенство $ -x^2 \ge 0 $ может выполняться только в одном случае, когда $ -x^2 = 0 $, что означает $ x = 0 $.

Ответ: $ x = 0 $.

4) $ \sqrt{x^2 + 8} $

Подкоренное выражение равно $ x^2 + 8 $. Неравенство для области определения:

$ x^2 + 8 \ge 0 $

Минимальное значение выражения $ x^2 $ равно 0 (при $ x=0 $). Следовательно, минимальное значение выражения $ x^2 + 8 $ равно $ 0 + 8 = 8 $. Так как $ 8 > 0 $, подкоренное выражение всегда положительно при любом значении $ x $.

Ответ: $ x $ - любое число.

5) $ \sqrt{(x - 8)^2} $

Подкоренное выражение равно $ (x - 8)^2 $. Неравенство для области определения:

$ (x - 8)^2 \ge 0 $

Выражение в скобках является квадратом действительного числа, а квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Следовательно, это неравенство справедливо для любого значения $ x $.

Ответ: $ x $ - любое число.

6) $ \sqrt{|x|} $

Подкоренное выражение равно $ |x| $. Неравенство для области определения:

$ |x| \ge 0 $

Модуль (абсолютная величина) любого действительного числа по определению является неотрицательным числом. Следовательно, это неравенство справедливо для любого значения $ x $.

Ответ: $ x $ - любое число.