Номер 14.14, страница 117 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 14. Квадратные корни. Арифметический квадратный корень - номер 14.14, страница 117.

Условие.

14.14. Найдите область определения функции:

1) $y = \sqrt{x+3} + \sqrt{3x+1};$

2) $y = \frac{\sqrt{x-2} \cdot \sqrt{x-4}}{2x-9}.$

Решение.

1) Область определения функции $y = \sqrt{x+3} + \sqrt{3x+1}$ находится из условия, что подкоренные выражения должны быть неотрицательными. Это приводит к системе неравенств:

$ \begin{cases} x+3 \ge 0 \\ 3x+1 \ge 0 \end{cases} $

Решим каждое неравенство отдельно:

$x+3 \ge 0 \implies x \ge -3$

$3x+1 \ge 0 \implies 3x \ge -1 \implies x \ge -1/3$

Теперь найдем пересечение решений этих двух неравенств. Общее решение системы - это $x \ge -1/3$. Следовательно, область определения функции - это промежуток $[-1/3; +\infty)$.

Ответ: $D(y) = [-1/3; +\infty)$.

2) Область определения функции $y = \frac{\sqrt{x-2} \cdot \sqrt{x-4}}{2x-9}$ находится из следующих условий:

1. Подкоренные выражения должны быть неотрицательными.

2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю.

Это приводит к системе условий:

$ \begin{cases} x-2 \ge 0 \\ x-4 \ge 0 \\ 2x-9 \neq 0 \end{cases} $

Решим каждое условие:

$x-2 \ge 0 \implies x \ge 2$

$x-4 \ge 0 \implies x \ge 4$

$2x-9 \neq 0 \implies 2x \neq 9 \implies x \neq 4.5$

Пересечением первых двух неравенств ($x \ge 2$ и $x \ge 4$) является $x \ge 4$. Теперь к этому решению добавим третье условие $x \neq 4.5$. В результате получаем, что $x$ может принимать любые значения из промежутка $[4; +\infty)$, за исключением точки $4.5$.

Таким образом, область определения функции представляет собой объединение двух промежутков: $[4; 4.5) \cup (4.5; +\infty)$.

Ответ: $D(y) = [4; 4.5) \cup (4.5; +\infty)$.