Номер 14.20, страница 118 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 14. Квадратные корни. Арифметический квадратный корень - номер 14.20, страница 118.

Условие.

14.20. Найдите область определения выражения:

1) $\frac{1}{\sqrt{y-1}}$;

2) $\frac{1}{\sqrt{y+1}}$;

3) $\sqrt{y^2-y+\frac{1}{4}}$;

4) $\sqrt{y-\frac{y^2}{4}-1}$.

Решение.

1) $\frac{1}{\sqrt{y}-1}$

Область определения этого выражения задается двумя условиями:
1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $y \ge 0$.
2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $\sqrt{y}-1 \ne 0$.

Решим второе условие:
$\sqrt{y} \ne 1$
Возведем обе части в квадрат:
$y \ne 1$

Объединяя оба условия, получаем, что $y$ может быть любым неотрицательным числом, кроме 1.

В виде промежутка это записывается так: $[0, 1) \cup (1, +\infty)$.

Ответ: $y \in [0, 1) \cup (1, +\infty)$.

2) $\frac{1}{\sqrt{y}+1}$

Область определения этого выражения также задается двумя условиями:
1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $y \ge 0$.
2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $\sqrt{y}+1 \ne 0$.

Рассмотрим второе условие. Поскольку по первому условию $y \ge 0$, то $\sqrt{y} \ge 0$.
Следовательно, $\sqrt{y}+1 \ge 0+1 = 1$.
Знаменатель $\sqrt{y}+1$ всегда положителен и никогда не равен нулю.

Таким образом, единственным ограничением для области определения является первое условие: $y \ge 0$.

В виде промежутка это записывается так: $[0, +\infty)$.

Ответ: $y \in [0, +\infty)$.

3) $\sqrt{y^2 - y + \frac{1}{4}}$

Область определения этого выражения задается условием, что выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:
$y^2 - y + \frac{1}{4} \ge 0$

Заметим, что выражение в левой части неравенства является полным квадратом разности:
$y^2 - 2 \cdot y \cdot \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 = (y - \frac{1}{2})^2$

Таким образом, неравенство принимает вид:
$(y - \frac{1}{2})^2 \ge 0$

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Следовательно, это неравенство выполняется для любого действительного значения $y$.

Область определения — все действительные числа.

Ответ: $y \in (-\infty, +\infty)$.

4) $\sqrt{y - \frac{y^2}{4} - 1}$

Область определения этого выражения задается условием, что выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:
$y - \frac{y^2}{4} - 1 \ge 0$

Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный, и переупорядочим слагаемые:
$\frac{y^2}{4} - y + 1 \le 0$

Заметим, что выражение в левой части является полным квадратом разности:
$(\frac{y}{2})^2 - 2 \cdot \frac{y}{2} \cdot 1 + 1^2 = (\frac{y}{2} - 1)^2$

Неравенство принимает вид:
$(\frac{y}{2} - 1)^2 \le 0$

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(\frac{y}{2} - 1)^2 \ge 0$.
Следовательно, неравенство $(\frac{y}{2} - 1)^2 \le 0$ может выполняться только в одном случае — когда выражение равно нулю:
$(\frac{y}{2} - 1)^2 = 0$

Решим это уравнение:
$\frac{y}{2} - 1 = 0$
$\frac{y}{2} = 1$
$y = 2$

Таким образом, область определения состоит из одного-единственного числа.

Ответ: $\{2\}$.