Номер 14.19, страница 117 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 14. Квадратные корни. Арифметический квадратный корень - номер 14.19, страница 117.

Условие.

14.19. Найдите область определения выражения:

1) $\sqrt{\frac{2}{3}x - x^2 - \frac{1}{9}};$

2) $\frac{1}{\sqrt{(x-8)^2}};$

3) $\frac{1}{\sqrt{x-3}};$

4) $\frac{1}{\sqrt{x+3}};$

5) $\sqrt{x} \cdot \sqrt{-x};$

6) $\frac{1}{\sqrt{x} \cdot \sqrt{-x}};$

7) $\sqrt{-|x|};$

8) $\frac{1}{\sqrt{|x|}};$

9) $\sqrt{\sqrt{x} + 1};$

10) $\sqrt{-\sqrt{x}};$

11) $\sqrt{-\sqrt{-x}};$

12) $\sqrt{-\frac{1}{\sqrt{x}}}.$

Решение.

1) Область определения выражения $ \sqrt{\frac{2}{3}x - x^2 - \frac{1}{9}} $ находится из условия, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $ \frac{2}{3}x - x^2 - \frac{1}{9} \ge 0 $. Умножим неравенство на $-1$ и сменим знак: $ x^2 - \frac{2}{3}x + \frac{1}{9} \le 0 $. Левая часть является полным квадратом: $ (x - \frac{1}{3})^2 \le 0 $. Так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, единственное возможное решение — это равенство нулю: $ (x - \frac{1}{3})^2 = 0 $, откуда $ x = \frac{1}{3} $.
Ответ: $ \{ \frac{1}{3} \} $.

2) В выражении $ \frac{1}{\sqrt{(x - 8)^2}} $ корень находится в знаменателе, поэтому подкоренное выражение должно быть строго больше нуля: $ (x - 8)^2 > 0 $. Квадрат любого действительного числа неотрицателен. Равенство нулю достигается при $ x - 8 = 0 $, то есть $ x = 8 $. Следовательно, неравенство выполняется для всех действительных чисел, кроме $ x = 8 $.
Ответ: $ (-\infty; 8) \cup (8; +\infty) $.

3) В выражении $ \frac{1}{\sqrt{x - 3}} $ подкоренное выражение в знаменателе должно быть строго больше нуля: $ x - 3 > 0 $. Отсюда следует, что $ x > 3 $.
Ответ: $ (3; +\infty) $.

4) В выражении $ \frac{1}{\sqrt{x + 3}} $ подкоренное выражение в знаменателе должно быть строго больше нуля: $ x + 3 > 0 $. Отсюда следует, что $ x > -3 $.
Ответ: $ (-3; +\infty) $.

5) Выражение $ \sqrt{x} \cdot \sqrt{-x} $ определено, когда оба подкоренных выражения неотрицательны. Это приводит к системе неравенств: $ \begin{cases} x \ge 0 \\ -x \ge 0 \end{cases} $. Второе неравенство эквивалентно $ x \le 0 $. Единственное число, удовлетворяющее обоим условиям $ x \ge 0 $ и $ x \le 0 $ — это $ x = 0 $.
Ответ: $ \{ 0 \} $.

6) В выражении $ \frac{1}{\sqrt{x} \cdot \sqrt{-x}} $ знаменатель не должен быть равен нулю. Как мы выяснили в предыдущем пункте, выражение $ \sqrt{x} \cdot \sqrt{-x} $ определено только при $ x = 0 $. При $ x = 0 $ значение знаменателя равно $ \sqrt{0} \cdot \sqrt{0} = 0 $. Так как деление на ноль невозможно, область определения пуста.
Ответ: $ \emptyset $.

7) Для выражения $ \sqrt{-|x|} $ подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $ -|x| \ge 0 $. Модуль любого числа $|x|$ всегда неотрицателен, то есть $ |x| \ge 0 $. Следовательно, $ -|x| \le 0 $. Условия $ -|x| \ge 0 $ и $ -|x| \le 0 $ могут выполняться одновременно только в случае равенства: $ -|x| = 0 $, что означает $ |x| = 0 $, и, следовательно, $ x = 0 $.
Ответ: $ \{ 0 \} $.

8) В выражении $ \frac{1}{\sqrt{|x|}} $ подкоренное выражение в знаменателе должно быть строго больше нуля: $ |x| > 0 $. Модуль числа равен нулю только тогда, когда само число равно нулю. Во всех остальных случаях модуль положителен. Таким образом, неравенство выполняется для всех действительных чисел, кроме $ x = 0 $.
Ответ: $ (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) $.

9) В выражении $ \sqrt{\sqrt{x} + 1} $ рассмотрим вложенные корни. Для внутреннего корня $ \sqrt{x} $ должно выполняться условие $ x \ge 0 $. Для внешнего корня подкоренное выражение $ \sqrt{x} + 1 $ должно быть неотрицательным: $ \sqrt{x} + 1 \ge 0 $. Так как при $ x \ge 0 $ имеем $ \sqrt{x} \ge 0 $, то $ \sqrt{x} + 1 \ge 1 $. Это неравенство всегда истинно. Таким образом, единственным ограничением является $ x \ge 0 $.
Ответ: $ [0; +\infty) $.

10) В выражении $ \sqrt{-\sqrt{x}} $ для внутреннего корня $ \sqrt{x} $ должно выполняться $ x \ge 0 $. Для внешнего корня подкоренное выражение $ -\sqrt{x} $ должно быть неотрицательным: $ -\sqrt{x} \ge 0 $. Так как при $ x \ge 0 $ имеем $ \sqrt{x} \ge 0 $, то $ -\sqrt{x} \le 0 $. Условия $ -\sqrt{x} \ge 0 $ и $ -\sqrt{x} \le 0 $ выполняются одновременно только при $ -\sqrt{x} = 0 $, что означает $ \sqrt{x} = 0 $, и, следовательно, $ x = 0 $.
Ответ: $ \{ 0 \} $.

11) В выражении $ \sqrt{-\sqrt{-x}} $ для внутреннего корня $ \sqrt{-x} $ должно выполняться $ -x \ge 0 $, то есть $ x \le 0 $. Для внешнего корня подкоренное выражение $ -\sqrt{-x} $ должно быть неотрицательным: $ -\sqrt{-x} \ge 0 $. Так как при $ x \le 0 $ корень $ \sqrt{-x} $ определен и $ \sqrt{-x} \ge 0 $, то $ -\sqrt{-x} \le 0 $. Оба условия $ -\sqrt{-x} \ge 0 $ и $ -\sqrt{-x} \le 0 $ выполняются только при $ -\sqrt{-x} = 0 $, что означает $ \sqrt{-x} = 0 $, и, следовательно, $ x = 0 $.
Ответ: $ \{ 0 \} $.

12) В выражении $ \sqrt{\frac{1}{\sqrt{x}}} $ сначала рассмотрим знаменатель $ \sqrt{x} $. Для него должно выполняться условие $ x > 0 $. Теперь рассмотрим подкоренное выражение для внешнего корня: $ \frac{1}{\sqrt{x}} $. Если $ x > 0 $, то $ \sqrt{x} > 0 $ и, следовательно, $ \frac{1}{\sqrt{x}} > 0 $. Так как это выражение всегда положительно, условие неотрицательности для внешнего корня выполняется автоматически. Таким образом, единственным ограничением является $ x > 0 $.
Ответ: $ (0; +\infty) $.