Номер 14.16, страница 117 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 14. Квадратные корни. Арифметический квадратный корень - номер 14.16, страница 117.

Условие.

14.16. Решите уравнение:

1) $\sqrt{2x+3}=11;$

2) $\frac{4}{\sqrt{x-5}}=6;$

3) $\sqrt{130-x^2}=9.$

Решение.

1)

Дано уравнение $\sqrt{2x + 3} = 11$.
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$2x + 3 \ge 0$
$2x \ge -3$
$x \ge -1.5$
Для решения уравнения возведем обе его части в квадрат:
$(\sqrt{2x + 3})^2 = 11^2$
$2x + 3 = 121$
Теперь решим полученное линейное уравнение:
$2x = 121 - 3$
$2x = 118$
$x = \frac{118}{2}$
$x = 59$
Полученное значение $x=59$ удовлетворяет условию ОДЗ ($59 \ge -1.5$), следовательно, является корнем уравнения.

Ответ: 59

2)

Дано уравнение $\frac{4}{\sqrt{x-5}} = 6$.
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что выражение под корнем в знаменателе должно быть строго положительным:
$x - 5 > 0$
$x > 5$
Выразим из уравнения знаменатель:
$\sqrt{x-5} = \frac{4}{6}$
$\sqrt{x-5} = \frac{2}{3}$
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x-5})^2 = (\frac{2}{3})^2$
$x - 5 = \frac{4}{9}$
Теперь найдем $x$:
$x = 5 + \frac{4}{9}$
$x = 5\frac{4}{9}$
Полученное значение $x=5\frac{4}{9}$ удовлетворяет условию ОДЗ ($5\frac{4}{9} > 5$), следовательно, является корнем уравнения.

Ответ: $5\frac{4}{9}$

3)

Дано уравнение $\sqrt{130 - x^2} = 9$.
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$130 - x^2 \ge 0$
$x^2 \le 130$
$-\sqrt{130} \le x \le \sqrt{130}$
Для решения уравнения возведем обе его части в квадрат:
$(\sqrt{130 - x^2})^2 = 9^2$
$130 - x^2 = 81$
Теперь решим полученное уравнение относительно $x^2$:
$x^2 = 130 - 81$
$x^2 = 49$
Отсюда находим значения $x$:
$x_1 = \sqrt{49} = 7$
$x_2 = -\sqrt{49} = -7$
Оба корня, $x=7$ и $x=-7$, удовлетворяют условию ОДЗ, так как $7^2=49 \le 130$ и $(-7)^2=49 \le 130$.

Ответ: -7; 7