Номер 14.13, страница 117 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 14. Квадратные корни. Арифметический квадратный корень - номер 14.13, страница 117.

Условие.

14.13. Найдите область определения функции:

1) $y=\sqrt{1-3x};$

2) $y=\frac{\sqrt{x-3}}{x+5};$

3) $y=\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{4x-1}};$

4) $y=\sqrt{2-x}+\sqrt{3x+1};$

5) $y=\sqrt{x-3}+\sqrt{3-x};$

6) $y=\frac{1}{\sqrt{2-3x}}-\sqrt{2x+1}.$

Решение.

1)

Область определения функции $y = \sqrt{1 - 3x}$ определяется условием, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным (больше или равно нулю). Составим и решим неравенство:

$1 - 3x \ge 0$

$-3x \ge -1$

При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x \le \frac{-1}{-3}$

$x \le \frac{1}{3}$

Таким образом, область определения функции — это все числа от минус бесконечности до $\frac{1}{3}$ включительно.

Ответ: $D(y) = (-\infty; \frac{1}{3}]$

2)

Для функции $y = \frac{\sqrt{x - 3}}{x + 5}$ необходимо выполнить два условия:

1. Подкоренное выражение в числителе должно быть неотрицательным: $x - 3 \ge 0$.

2. Знаменатель не должен равняться нулю: $x + 5 \ne 0$.

Решим систему этих условий:

$\begin{cases} x - 3 \ge 0 \\ x + 5 \ne 0 \end{cases}$

Из первого неравенства получаем: $x \ge 3$.

Из второго условия получаем: $x \ne -5$.

Объединяя эти условия, видим, что если $x \ge 3$, то условие $x \ne -5$ выполняется автоматически. Следовательно, область определения — это все числа, большие или равные 3.

Ответ: $D(y) = [3; +\infty)$

3)

Для функции $y = \frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{4x - 1}}$ необходимо выполнить два условия:

1. Подкоренное выражение в числителе должно быть неотрицательным: $x + 1 \ge 0$.

2. Подкоренное выражение в знаменателе должно быть строго положительным (так как корень находится в знаменателе, который не может быть равен нулю): $4x - 1 > 0$.

Решим систему неравенств:

$\begin{cases} x + 1 \ge 0 \\ 4x - 1 > 0 \end{cases}$

$\begin{cases} x \ge -1 \\ 4x > 1 \end{cases}$

$\begin{cases} x \ge -1 \\ x > \frac{1}{4} \end{cases}$

Пересечением этих двух множеств является более сильное условие $x > \frac{1}{4}$.

Ответ: $D(y) = (\frac{1}{4}; +\infty)$

4)

Функция $y = \sqrt{2 - x} + \sqrt{3x + 1}$ определена, когда оба подкоренных выражения неотрицательны. Составим и решим систему неравенств:

$\begin{cases} 2 - x \ge 0 \\ 3x + 1 \ge 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство отдельно:

1. $2 - x \ge 0 \implies -x \ge -2 \implies x \le 2$

2. $3x + 1 \ge 0 \implies 3x \ge -1 \implies x \ge -\frac{1}{3}$

Теперь найдем пересечение решений: $x$ должен быть одновременно меньше или равен 2 и больше или равен $-\frac{1}{3}$.

$-\frac{1}{3} \le x \le 2$

Ответ: $D(y) = [-\frac{1}{3}; 2]$

5)

Функция $y = \sqrt{x - 3} + \sqrt{3 - x}$ определена, когда оба подкоренных выражения неотрицательны. Составим и решим систему неравенств:

$\begin{cases} x - 3 \ge 0 \\ 3 - x \ge 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство:

1. $x - 3 \ge 0 \implies x \ge 3$

2. $3 - x \ge 0 \implies -x \ge -3 \implies x \le 3$

Единственное число, которое одновременно больше или равно 3 и меньше или равно 3, — это само число 3.

Ответ: $D(y) = \{3\}$

6)

Функция $y = \frac{1}{\sqrt{2 - 3x}} - \sqrt{2x + 1}$ состоит из двух частей, для каждой из которых есть свои ограничения:

1. Для первого слагаемого $\frac{1}{\sqrt{2 - 3x}}$ подкоренное выражение должно быть строго положительным (не равно нулю, так как находится в знаменателе): $2 - 3x > 0$.

2. Для второго слагаемого $\sqrt{2x + 1}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $2x + 1 \ge 0$.

Решим систему этих условий:

$\begin{cases} 2 - 3x > 0 \\ 2x + 1 \ge 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство:

1. $2 - 3x > 0 \implies -3x > -2 \implies 3x < 2 \implies x < \frac{2}{3}$

2. $2x + 1 \ge 0 \implies 2x \ge -1 \implies x \ge -\frac{1}{2}$

Объединяя эти условия, получаем, что $x$ должен быть в промежутке от $-\frac{1}{2}$ (включительно) до $\frac{2}{3}$ (не включая).

$-\frac{1}{2} \le x < \frac{2}{3}$

Ответ: $D(y) = [-\frac{1}{2}; \frac{2}{3})$