Номер 14.15, страница 117 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 14. Квадратные корни. Арифметический квадратный корень - номер 14.15, страница 117.

Условие.

14.15. Решите уравнение:

1) $\sqrt{5x - 4} = 0;$

2) $\sqrt{5x - 4} = 0;$

3) $\sqrt{5x - 4} = 6;$

4) $\frac{42}{\sqrt{x}} = 6;$

5) $\frac{18}{\sqrt{x + 3}} = 9;$

6) $\sqrt{x^2 - 36} = 8.$

Решение.

1) $\sqrt{5x} - 4 = 0$

Для решения данного иррационального уравнения сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$5x \ge 0 \Rightarrow x \ge 0$.
Теперь перенесем константу в правую часть уравнения:
$\sqrt{5x} = 4$
Чтобы избавиться от знака корня, возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{5x})^2 = 4^2$
$5x = 16$
Решим полученное линейное уравнение относительно $x$:
$x = \frac{16}{5}$
$x = 3.2$
Найденное значение $x = 3.2$ удовлетворяет условию ОДЗ ($3.2 \ge 0$), следовательно, является корнем уравнения.
Ответ: $3.2$.

2) $\sqrt{5x - 4} = 0$

Найдем ОДЗ: выражение под корнем должно быть неотрицательным.
$5x - 4 \ge 0 \Rightarrow 5x \ge 4 \Rightarrow x \ge \frac{4}{5}$ или $x \ge 0.8$.
Квадратный корень равен нулю тогда и только тогда, когда подкоренное выражение равно нулю.
$5x - 4 = 0$
Перенесем константу в правую часть:
$5x = 4$
Найдем $x$:
$x = \frac{4}{5}$
$x = 0.8$
Корень $x = 0.8$ удовлетворяет ОДЗ ($0.8 \ge 0.8$).
Ответ: $0.8$.

3) $\sqrt{5x - 4} = 6$

ОДЗ уравнения определяется условием $5x - 4 \ge 0$, откуда $x \ge 0.8$.
Так как обе части уравнения неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат:
$(\sqrt{5x - 4})^2 = 6^2$
$5x - 4 = 36$
Решим полученное линейное уравнение:
$5x = 36 + 4$
$5x = 40$
$x = \frac{40}{5}$
$x = 8$
Проверим, удовлетворяет ли корень ОДЗ: $8 \ge 0.8$. Условие выполняется, значит, $x=8$ является решением.
Ответ: $8$.

4) $\frac{42}{\sqrt{x}} = 6$

ОДЗ: так как переменная находится под корнем в знаменателе, подкоренное выражение должно быть строго положительным: $x > 0$.
Выразим $\sqrt{x}$ из уравнения. Для этого можно поменять местами знаменатель левой части и правую часть уравнения:
$\sqrt{x} = \frac{42}{6}$
$\sqrt{x} = 7$
Возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{x})^2 = 7^2$
$x = 49$
Найденное значение $x=49$ удовлетворяет ОДЗ ($49 > 0$).
Ответ: $49$.

5) $\frac{18}{\sqrt{x} + 3} = 9$

ОДЗ: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, $x \ge 0$. Знаменатель $\sqrt{x} + 3$ не должен быть равен нулю. Так как $\sqrt{x} \ge 0$, то $\sqrt{x} + 3 \ge 3$, поэтому знаменатель никогда не равен нулю.
Умножим обе части на знаменатель $\sqrt{x} + 3$:
$18 = 9(\sqrt{x} + 3)$
Разделим обе части на 9:
$2 = \sqrt{x} + 3$
Выразим $\sqrt{x}$:
$\sqrt{x} = 2 - 3$
$\sqrt{x} = -1$
По определению, арифметический квадратный корень не может быть отрицательным числом. Следовательно, данное уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: нет корней.

6) $\sqrt{x^2 - 36} = 8$

Найдем ОДЗ: выражение под корнем должно быть неотрицательным.
$x^2 - 36 \ge 0$
$x^2 \ge 36$
Это неравенство выполняется при $x \in (-\infty; -6] \cup [6; +\infty)$.
Возведем обе части исходного уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x^2 - 36})^2 = 8^2$
$x^2 - 36 = 64$
$x^2 = 64 + 36$
$x^2 = 100$
Извлечем квадратный корень из обеих частей:
$x = \pm\sqrt{100}$
$x_1 = 10$, $x_2 = -10$
Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ.
Корень $x_1 = 10$ удовлетворяет условию $x \ge 6$.
Корень $x_2 = -10$ удовлетворяет условию $x \le -6$.
Оба значения являются корнями уравнения.
Ответ: $-10; 10$.