Номер 14.21, страница 118 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 14. Квадратные корни. Арифметический квадратный корень - номер 14.21, страница 118.

Условие.

14.21. Найдите область определения функции:

1) $y = \sqrt{|x| - 2}$;

2) $y = \sqrt{1 - |x|}$;

3) $y = \sqrt{x - |x|}$;

4) $y = \sqrt{|x| - x}$;

5) $y = \frac{\sqrt{|x| - 4}}{x^2 - 25}$;

6) $y = \sqrt{5 - |x|} + \frac{1}{\sqrt{2 - x}}$.

Решение.

1) Область определения функции $y = \sqrt{|x| - 2}$ находится из условия, что выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:
$|x| - 2 \ge 0$
$|x| \ge 2$
Данное неравенство равносильно совокупности двух неравенств:
$x \ge 2$ или $x \le -2$.
Следовательно, область определения представляет собой объединение двух промежутков.
Ответ: $(-\infty; -2] \cup [2; +\infty)$.

2) Для функции $y = \sqrt{1 - |x|}$ выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$1 - |x| \ge 0$
$1 \ge |x|$ или $|x| \le 1$
Это неравенство равносильно двойному неравенству:
$-1 \le x \le 1$.
Таким образом, область определения — это отрезок.
Ответ: $[-1; 1]$.

3) Для функции $y = \sqrt{x - |x|}$ выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$x - |x| \ge 0$
$x \ge |x|$
Рассмотрим два случая:
а) Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Неравенство принимает вид $x \ge x$, или $0 \ge 0$, что является верным тождеством. Следовательно, все $x \ge 0$ входят в область определения.
б) Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Неравенство принимает вид $x \ge -x$, или $2x \ge 0$, что означает $x \ge 0$. Это противоречит условию $x < 0$. В этом случае решений нет.
Объединяя результаты, получаем, что область определения состоит из всех неотрицательных чисел.
Ответ: $[0; +\infty)$.

4) Для функции $y = \sqrt{|x| - x}$ выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$|x| - x \ge 0$
$|x| \ge x$
Это неравенство верно для любого действительного числа $x$.
а) Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Неравенство $x \ge x$ верно.
б) Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Неравенство $-x \ge x$ верно, так как $-x$ — положительное число, а $x$ — отрицательное.
Таким образом, область определения — множество всех действительных чисел.
Ответ: $(-\infty; +\infty)$.

5) Область определения функции $y = \frac{\sqrt{|x| - 4}}{x^2 - 25}$ определяется двумя условиями:
1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $|x| - 4 \ge 0$.
2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $x^2 - 25 \ne 0$.
Решим первое условие:
$|x| \ge 4$, что равносильно $x \ge 4$ или $x \le -4$.
Решим второе условие:
$x^2 \ne 25$, что означает $x \ne 5$ и $x \ne -5$.
Теперь объединим эти условия. Из множества $(-\infty; -4] \cup [4; +\infty)$ нужно исключить точки -5 и 5. Обе точки входят в это множество, поэтому их необходимо "выколоть".
Ответ: $(-\infty; -5) \cup (-5; -4] \cup [4; 5) \cup (5; +\infty)$.

6) Область определения функции $y = \sqrt{5 - |x|} + \frac{1}{\sqrt{2 - x}}$ является пересечением областей определения двух слагаемых.
1. Для первого слагаемого $\sqrt{5 - |x|}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
$5 - |x| \ge 0 \implies |x| \le 5 \implies -5 \le x \le 5$.
2. Для второго слагаемого $\frac{1}{\sqrt{2 - x}}$ подкоренное выражение в знаменателе должно быть строго положительным:
$2 - x > 0 \implies x < 2$.
Найдем пересечение полученных множеств: $x \in [-5; 5]$ и $x \in (-\infty; 2)$.
Пересечением является полуинтервал $[-5; 2)$.
Ответ: $[-5; 2)$.