Номер 14.25, страница 118 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 14. Квадратные корни. Арифметический квадратный корень - номер 14.25, страница 118.

Условие.

14.25. Можно ли утверждать, что при любом значении $x$ имеет смысл выражение $\sqrt{x^2 - 4x + 5}$?

Решение.

Для того чтобы выражение $\sqrt{x^2 - 4x + 5}$ имело смысл, необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным, то есть должно выполняться неравенство:

$x^2 - 4x + 5 \geq 0$

Чтобы проверить, выполняется ли это неравенство для любого значения $x$, можно проанализировать квадратичную функцию $y = x^2 - 4x + 5$.

Способ 1: через дискриминант

Графиком функции $y = x^2 - 4x + 5$ является парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $a=1$, что больше нуля, следовательно, ветви параболы направлены вверх.

Найдем дискриминант квадратного трёхчлена по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4$

Поскольку дискриминант отрицателен ($D < 0$), у уравнения $x^2 - 4x + 5 = 0$ нет действительных корней. Это означает, что парабола не пересекает ось абсцисс (ось Ox). Так как ветви параболы направлены вверх, вся парабола расположена выше оси Ox. Следовательно, выражение $x^2 - 4x + 5$ принимает только положительные значения при любом $x$.

Способ 2: выделение полного квадрата

Преобразуем подкоренное выражение, выделив в нём полный квадрат:

$x^2 - 4x + 5 = (x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2) - 2^2 + 5 = (x - 2)^2 - 4 + 5 = (x - 2)^2 + 1$

Выражение $(x - 2)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому его значение всегда неотрицательно, то есть $(x - 2)^2 \geq 0$ для любого $x$.

Тогда наименьшее значение выражения $(x - 2)^2 + 1$ достигается при $(x - 2)^2 = 0$ и равно $0 + 1 = 1$.

Таким образом, для любого значения $x$ выполняется неравенство $x^2 - 4x + 5 \geq 1$.

Поскольку подкоренное выражение всегда положительно (а значит, и неотрицательно), то корень из него определён для любого действительного значения $x$.

Ответ: да, можно утверждать.