Номер 14.22, страница 118 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 14. Квадратные корни. Арифметический квадратный корень - номер 14.22, страница 118.

Условие.

14.22. Найдите область определения функции:

1) $y = \sqrt{7-|x|}$;

2) $y = \sqrt{|x|-2 - \frac{1}{\sqrt{x+3}}}$.

Решение.

1) $y = \sqrt{7 - |x|}$

Область определения функции (ОДЗ) находится из условия, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$7 - |x| \ge 0$

Решим это неравенство:

$|x| \le 7$

Данное неравенство с модулем равносильно системе неравенств:

$\begin{cases} x \le 7 \\ x \ge -7 \end{cases}$

что можно записать в виде двойного неравенства:

$-7 \le x \le 7$

Таким образом, область определения функции — это все значения $x$ от -7 до 7, включая концы.

Ответ: $x \in [-7, 7]$.

2) $y = \sqrt{|x| - 2} - \frac{1}{\sqrt{x+3}}$

Область определения этой функции задается системой из двух условий, которые должны выполняться одновременно:

1. Выражение под первым квадратным корнем должно быть неотрицательным:

$|x| - 2 \ge 0$

$|x| \ge 2$

Это неравенство эквивалентно совокупности двух неравенств:

$x \ge 2$ или $x \le -2$

В виде промежутков это записывается как $x \in (-\infty, -2] \cup [2, +\infty)$.

2. Выражение под вторым квадратным корнем, который находится в знаменателе дроби, должно быть строго положительным:

$x + 3 > 0$

$x > -3$

Это соответствует промежутку $x \in (-3, +\infty)$.

Теперь необходимо найти пересечение множеств решений обоих условий:

$\begin{cases} x \in (-\infty, -2] \cup [2, +\infty) \\ x \in (-3, +\infty) \end{cases}$

Найдем пересечение: $x \in ((- \infty, -2] \cup [2, +\infty)) \cap (-3, +\infty)$.

Это пересечение является объединением двух интервалов:

• $(-3, +\infty) \cap (-\infty, -2] = (-3, -2]$
• $(-3, +\infty) \cap [2, +\infty) = [2, +\infty)$

Таким образом, итоговая область определения функции является объединением этих двух промежутков.

Ответ: $x \in (-3, -2] \cup [2, +\infty)$.