Номер 14.24, страница 118 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 14. Квадратные корни. Арифметический квадратный корень - номер 14.24, страница 118.

Условие.

14.24. Решите уравнение:

1) $\sqrt{17+\sqrt{\sqrt{x-6}}}=5$;

2) $\sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{x}}}=1.$

Решение.

1) $\sqrt{17 + \sqrt{\sqrt{x} - 6}} = 5$

Для решения этого иррационального уравнения будем последовательно избавляться от корней путем возведения обеих частей в квадрат.
Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным.

• Для внутреннего корня: $\sqrt{x} - 6 \ge 0 \implies \sqrt{x} \ge 6 \implies x \ge 36$.
• Для внешнего корня: $17 + \sqrt{\sqrt{x} - 6} \ge 0$. Это неравенство выполняется всегда, так как корень $\sqrt{\sqrt{x} - 6}$ не может быть отрицательным, а значит и сумма с 17 будет положительной.

Таким образом, ОДЗ: $x \ge 36$.

Возведем обе части исходного уравнения в квадрат:
$(\sqrt{17 + \sqrt{\sqrt{x} - 6}})^2 = 5^2$
$17 + \sqrt{\sqrt{x} - 6} = 25$
Теперь изолируем оставшийся корень:
$\sqrt{\sqrt{x} - 6} = 25 - 17$
$\sqrt{\sqrt{x} - 6} = 8$
Снова возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{\sqrt{x} - 6})^2 = 8^2$
$\sqrt{x} - 6 = 64$
Изолируем $\sqrt{x}$:
$\sqrt{x} = 64 + 6$
$\sqrt{x} = 70$
В последний раз возводим обе части в квадрат, чтобы найти $x$:
$(\sqrt{x})^2 = 70^2$
$x = 4900$
Проверяем, соответствует ли полученный корень ОДЗ ($x \ge 36$).
$4900 \ge 36$, значит, корень подходит.

Ответ: $4900$.

2) $\sqrt{1 + \sqrt{2 + \sqrt{x}}} = 1$

Как и в предыдущем примере, будем последовательно возводить обе части уравнения в квадрат.
Определим ОДЗ. Все подкоренные выражения должны быть неотрицательными.

• $x \ge 0$.
• $2 + \sqrt{x} \ge 0$. Это выполняется для всех $x \ge 0$.
• $1 + \sqrt{2 + \sqrt{x}} \ge 0$. Это также выполняется для всех $x \ge 0$.

ОДЗ: $x \ge 0$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{1 + \sqrt{2 + \sqrt{x}}})^2 = 1^2$
$1 + \sqrt{2 + \sqrt{x}} = 1$
Изолируем корень:
$\sqrt{2 + \sqrt{x}} = 1 - 1$
$\sqrt{2 + \sqrt{x}} = 0$
Снова возводим обе части в квадрат:
$(\sqrt{2 + \sqrt{x}})^2 = 0^2$
$2 + \sqrt{x} = 0$
Выражаем $\sqrt{x}$:
$\sqrt{x} = -2$
Полученное уравнение не имеет решений в области действительных чисел, так как арифметический квадратный корень ($\sqrt{x}$) по определению не может быть отрицательным числом ($\sqrt{x} \ge 0$).

Ответ: корней нет.