Номер 13.16, страница 109 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 13. Функция y = x² и её график - номер 13.16, страница 109.

Условие.

13.16. Задайте кусочно функцию, график которой изображён на рисунке 13.6.

$f(x) = \begin{cases} -x & \text{если } x < 0 \\ x^2 - x & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$

Рис. 13.6

Решение.

График, представленный на рисунке, является кусочно-заданной функцией. Он состоит из двух частей, граница между которыми проходит в точке $x=0$. Чтобы задать эту функцию, необходимо найти формулу для каждой части.

Определение функции для $x \le 0$

При $x \le 0$ график представляет собой луч (часть прямой). Уравнение прямой имеет вид $y = kx + b$. Для нахождения коэффициентов $k$ и $b$ выберем две точки на этом луче. Из графика видно, что он проходит через точки с координатами $(0, 1)$ и $(-2, 2)$.

Точка $(0, 1)$ является точкой пересечения с осью ординат, поэтому свободный член $b=1$.

Угловой коэффициент $k$ найдем по формуле:

$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{1 - 2}{0 - (-2)} = \frac{-1}{2}$

Таким образом, для $x \le 0$ функция задается формулой $y = -\frac{1}{2}x + 1$.

Определение функции для $x > 0$

При $x > 0$ график представляет собой ветвь параболы. Уравнение параболы удобно записать в виде $y = a(x - x_0)^2 + y_0$, где $(x_0, y_0)$ — координаты ее вершины. Из графика видно, что вершина параболы находится в точке $(1, 0)$.

Подставим координаты вершины в уравнение:

$y = a(x - 1)^2 + 0$, то есть $y = a(x-1)^2$.

Для нахождения коэффициента $a$ используем другую точку, принадлежащую этой части графика, например, $(0, 1)$. Подставим ее координаты в полученное уравнение:

$1 = a(0 - 1)^2$

$1 = a(-1)^2$

$a = 1$

Следовательно, для $x > 0$ функция задается формулой $y = (x - 1)^2$.

Запись итоговой кусочной функции

Теперь объединим обе формулы в одну систему. В точке "стыка" $x=0$ значения обеих функций совпадают: $y(0) = -\frac{1}{2} \cdot 0 + 1 = 1$ и $y(0) = (0-1)^2 = 1$. Поэтому граничную точку $x=0$ можно включить в любой из двух промежутков.

Итоговая функция выглядит следующим образом:

Ответ: $y = \begin{cases} -\frac{1}{2}x + 1, & \text{если } x \le 0 \\ (x-1)^2, & \text{если } x > 0 \end{cases}$