Номер 13.20, страница 110 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 13. Функция y = x² и её график - номер 13.20, страница 110.

Условие.

13.20. Постройте график уравнения $(y - 2x)^2 + (y + x^2)^2 = 0$.

Решение.

Данное уравнение представляет собой сумму двух слагаемых, каждое из которых является квадратом некоторого выражения:

$(y - 2x)^2 + (y + x^2)^2 = 0$

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен (больше или равен нулю). Таким образом, мы имеем:

$(y - 2x)^2 \ge 0$

$(y + x^2)^2 \ge 0$

Сумма двух неотрицательных слагаемых равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из слагаемых равно нулю. Это означает, что для удовлетворения исходного уравнения необходимо, чтобы одновременно выполнялись два условия:

$y - 2x = 0$

$y + x^2 = 0$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя переменными. Решим ее:

$ \begin{cases} y - 2x = 0 \\ y + x^2 = 0 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $y$ через $x$:

$y = 2x$

Теперь подставим это выражение для $y$ во второе уравнение системы:

$(2x) + x^2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $x$:

$x^2 + 2x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x + 2) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных значения для $x$:

$x_1 = 0$

$x_2 = -2$

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого из найденных $x$, используя уравнение $y = 2x$:

1. При $x_1 = 0$, получаем $y_1 = 2 \cdot 0 = 0$. Таким образом, первая точка, удовлетворяющая уравнению, — это $(0; 0)$.

2. При $x_2 = -2$, получаем $y_2 = 2 \cdot (-2) = -4$. Таким образом, вторая точка, удовлетворяющая уравнению, — это $(-2; -4)$.

Других решений система не имеет. Следовательно, график исходного уравнения состоит всего из двух точек на координатной плоскости.

Ответ: Графиком уравнения являются две точки с координатами $(0; 0)$ и $(-2; -4)$.