Номер 13.8, страница 108 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 13. Функция y = x² и её график - номер 13.8, страница 108.

Условие.

13.8. Дана функция $f(x) = \begin{cases} x^2, & \text{если } x \le 0 \\ x+1, & \text{если } x > 0 \end{cases}$

1) Найдите $f(-7), f(0), f(2)$.

2) Постройте график данной функции.

Решение.

1) Найдите f(-7), f(0), f(2).

Данная функция является кусочно-заданной. Это означает, что для разных значений аргумента $x$ используются разные формулы. Чтобы найти значение функции в конкретной точке, нужно сначала определить, какому из условий ($x \le 0$ или $x > 0$) удовлетворяет аргумент.

• Нахождение $f(-7)$

  Аргумент $x = -7$. Сравниваем его с нулем: $-7 \le 0$. Следовательно, мы должны использовать первую формулу: $f(x) = x^2$.

  $f(-7) = (-7)^2 = 49$.

• Нахождение $f(0)$

  Аргумент $x = 0$. Условие $x \le 0$ выполняется, так как $0 = 0$. Поэтому мы снова используем первую формулу: $f(x) = x^2$.

  $f(0) = 0^2 = 0$.

• Нахождение $f(2)$

  Аргумент $x = 2$. Сравниваем его с нулем: $2 > 0$. Следовательно, мы должны использовать вторую формулу: $f(x) = x + 1$.

  $f(2) = 2 + 1 = 3$.

Ответ: $f(-7) = 49$, $f(0) = 0$, $f(2) = 3$.

2) Постройте график данной функции.

График функции $f(x)$ состоит из двух частей, соответствующих двум условиям для $x$.

Часть 1: $f(x) = x^2$ при $x \le 0$.
Это левая ветвь стандартной параболы $y=x^2$, вершина которой находится в начале координат. Так как условие $x \le 0$ нестрогое, точка $(0, 0)$ принадлежит графику. Для построения найдем несколько контрольных точек:

• $x = 0 \implies y = 0^2 = 0$. Точка $(0, 0)$.
• $x = -1 \implies y = (-1)^2 = 1$. Точка $(-1, 1)$.
• $x = -2 \implies y = (-2)^2 = 4$. Точка $(-2, 4)$.

Часть 2: $f(x) = x + 1$ при $x > 0$.
Это часть прямой линии $y = x + 1$. Графиком является луч. Для его построения найдем две точки:

• Найдем граничную точку. Если бы $x$ мог быть равен 0, то $y = 0 + 1 = 1$. Так как условие строгое ($x > 0$), точка $(0, 1)$ не входит в график. На графике ее отмечают пустым кружком ("выколотая" точка).
• Возьмем любое значение $x > 0$, например, $x=2$. Тогда $y = 2+1=3$. Точка $(2, 3)$ принадлежит графику.

Теперь объединим обе части на одной координатной плоскости. График будет состоять из ветви параболы для всех неположительных $x$ и луча прямой для всех положительных $x$. В точке $x=0$ функция имеет разрыв.

Ответ: График функции построен. Он состоит из левой ветви параболы $y=x^2$ (включая точку $(0,0)$) и луча прямой $y=x+1$, начинающегося из выколотой точки $(0,1)$.