Номер 13.2, страница 108 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 13. Функция y = x² и её график - номер 13.2, страница 108.

Условие.

13.2. Решите графически уравнение:

1) $x^2 = x - 1$;

2) $x^2 - 2x - 3 = 0$;

3) $x^2 = \frac{8}{x}$.

Решение.

Для графического решения уравнений необходимо представить каждую часть уравнения как отдельную функцию, построить графики этих функций и найти абсциссы (координаты $x$) точек их пересечения. Эти абсциссы и будут решениями исходного уравнения.

1) $x^2 = x - 1$

Рассмотрим две функции: $y = x^2$ и $y = x - 1$.

1. График функции $y = x^2$ — это парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в начале координат, в точке (0, 0).

2. График функции $y = x - 1$ — это прямая. Для ее построения найдем две точки:

• при $x = 0$, $y = -1$, точка (0, -1);
• при $x = 1$, $y = 0$, точка (1, 0).

Построим оба графика в одной системе координат.

Из графика видно, что парабола и прямая не имеют общих точек, то есть не пересекаются. Это означает, что уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет решений.

2) $x^2 - 2x - 3 = 0$

Для удобства построения преобразуем уравнение к виду $x^2 = 2x + 3$. Теперь рассмотрим две функции: $y = x^2$ и $y = 2x + 3$.

1. График функции $y = x^2$ — стандартная парабола с вершиной в точке (0, 0).

2. График функции $y = 2x + 3$ — это прямая. Найдем две точки для ее построения:

• при $x = 0$, $y = 3$, точка (0, 3);
• при $x = -1$, $y = 2(-1) + 3 = 1$, точка (-1, 1).

Построим графики в одной системе координат.

Графики пересекаются в двух точках. Найдем их абсциссы по графику: $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$.
Проверим найденные значения:

• При $x = -1$: левая часть $y = (-1)^2 = 1$; правая часть $y = 2(-1) + 3 = 1$. Верно.
• При $x = 3$: левая часть $y = 3^2 = 9$; правая часть $y = 2(3) + 3 = 9$. Верно.

Следовательно, абсциссы точек пересечения являются корнями уравнения.

Ответ: -1; 3.

3) $x^2 = \frac{8}{x}$

Рассмотрим две функции: $y = x^2$ и $y = \frac{8}{x}$. Область допустимых значений уравнения $x \ne 0$.

1. График функции $y = x^2$ — парабола с вершиной в точке (0, 0).

2. График функции $y = \frac{8}{x}$ — это гипербола, ветви которой расположены в первой и третьей координатных четвертях. Построим ее по точкам:

• (1, 8), (2, 4), (4, 2);
• (-1, -8), (-2, -4), (-4, -2).

Построим оба графика в одной системе координат.

График параболы $y=x^2$ расположен выше оси абсцисс (при $x \ne 0$), поэтому пересечение с гиперболой возможно только в первой четверти, где $y > 0$. Из графика видно, что графики пересекаются в одной точке. Абсцисса этой точки $x = 2$.
Проверим: при $x = 2$, $y = 2^2 = 4$ и $y = \frac{8}{2} = 4$. Точка (2, 4) принадлежит обоим графикам.

Ответ: 2.