Номер 12.29, страница 99 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 12. Уравнения и неравенства, содержащие знак модуля - номер 12.29, страница 99.

Условие.

12.29. Определите количество корней уравнения в зависимости от значения параметра a:

1) $|x - 1| + |x + 1| = a;$

2) $|x - 2| - |x + 2| = a.$

Решение.

1) $|x - 1| + |x + 1| = a$

Решим это уравнение, рассмотрев функцию в левой части $f(x) = |x - 1| + |x + 1|$. Количество корней уравнения равно количеству точек пересечения графика этой функции с горизонтальной прямой $y = a$.

Для раскрытия модулей рассмотрим три случая, в зависимости от знаков выражений под модулем. Точки, в которых выражения под модулем равны нулю, это $x = 1$ и $x = -1$. Они разбивают числовую прямую на три интервала.

1. При $x < -1$:

   Оба выражения под модулем отрицательны: $x - 1 < 0$ и $x + 1 < 0$.

   Тогда $|x - 1| = -(x - 1) = 1 - x$ и $|x + 1| = -(x + 1) = -x - 1$.

   Уравнение принимает вид: $(1 - x) + (-x - 1) = a$, что упрощается до $-2x = a$.

   Отсюда $x = -\frac{a}{2}$.

   Этот корень существует, если он удовлетворяет условию $x < -1$.

   $-\frac{a}{2} < -1 \implies \frac{a}{2} > 1 \implies a > 2$.

   Таким образом, при $a > 2$ в этом интервале есть один корень.

2. При $-1 \le x \le 1$:

   Выражение $x - 1 \le 0$, а $x + 1 \ge 0$.

   Тогда $|x - 1| = -(x - 1) = 1 - x$ и $|x + 1| = x + 1$.

   Уравнение принимает вид: $(1 - x) + (x + 1) = a$, что упрощается до $2 = a$.

   Если $a = 2$, то уравнение становится верным тождеством $2=2$ для любого $x$ из отрезка $[-1, 1]$. В этом случае уравнение имеет бесконечно много корней.

   Если $a \ne 2$, то в этом интервале корней нет.

3. При $x > 1$:

   Оба выражения под модулем положительны: $x - 1 > 0$ и $x + 1 > 0$.

   Тогда $|x - 1| = x - 1$ и $|x + 1| = x + 1$.

   Уравнение принимает вид: $(x - 1) + (x + 1) = a$, что упрощается до $2x = a$.

   Отсюда $x = \frac{a}{2}$.

   Этот корень существует, если он удовлетворяет условию $x > 1$.

   $\frac{a}{2} > 1 \implies a > 2$.

   Таким образом, при $a > 2$ в этом интервале есть еще один корень.

Подведем итоги:

• Если $a < 2$, уравнение не имеет решений, так как минимальное значение функции $f(x)$ равно 2.
• Если $a = 2$, уравнение имеет бесконечно много решений: все $x \in [-1, 1]$.
• Если $a > 2$, уравнение имеет два корня: $x_1 = -\frac{a}{2}$ и $x_2 = \frac{a}{2}$.

Ответ: при $a < 2$ корней нет; при $a = 2$ — бесконечно много корней ($x \in [-1, 1]$); при $a > 2$ — два корня.

2) $|x - 2| - |x + 2| = a$

Аналогично первому пункту, рассмотрим функцию в левой части $g(x) = |x - 2| - |x + 2|$ и найдем количество точек пересечения её графика с прямой $y = a$.

Точки, в которых выражения под модулем обращаются в ноль: $x = 2$ и $x = -2$. Разобьем числовую прямую на три интервала.

1. При $x \le -2$:

   Оба выражения под модулем отрицательны или равны нулю: $x - 2 < 0$ и $x + 2 \le 0$.

   Тогда $|x - 2| = -(x - 2) = 2 - x$ и $|x + 2| = -(x + 2) = -x - 2$.

   Уравнение принимает вид: $(2 - x) - (-x - 2) = a$, что упрощается до $4 = a$.

   Если $a = 4$, то уравнение становится верным тождеством для любого $x \le -2$. Следовательно, уравнение имеет бесконечно много корней.

   Если $a \ne 4$, то в этом интервале корней нет.

2. При $-2 < x < 2$:

   Выражение $x - 2 < 0$, а $x + 2 > 0$.

   Тогда $|x - 2| = -(x - 2) = 2 - x$ и $|x + 2| = x + 2$.

   Уравнение принимает вид: $(2 - x) - (x + 2) = a$, что упрощается до $-2x = a$.

   Отсюда $x = -\frac{a}{2}$.

   Этот корень существует, если он принадлежит интервалу $(-2, 2)$.

   $-2 < -\frac{a}{2} < 2 \implies 4 > a > -4$, то есть $-4 < a < 4$.

   При $-4 < a < 4$ в этом интервале есть ровно один корень.

3. При $x \ge 2$:

   Оба выражения под модулем неотрицательны: $x - 2 \ge 0$ и $x + 2 > 0$.

   Тогда $|x - 2| = x - 2$ и $|x + 2| = x + 2$.

   Уравнение принимает вид: $(x - 2) - (x + 2) = a$, что упрощается до $-4 = a$.

   Если $a = -4$, то уравнение становится верным тождеством для любого $x \ge 2$. Следовательно, уравнение имеет бесконечно много корней.

   Если $a \ne -4$, то в этом интервале корней нет.

Подведем итоги:

• Если $a < -4$ или $a > 4$ (т.е. $|a| > 4$), уравнение не имеет решений, так как область значений функции $g(x)$ — это отрезок $[-4, 4]$.
• Если $a = -4$, уравнение имеет бесконечно много решений: все $x \in [2, +\infty)$.
• Если $a = 4$, уравнение имеет бесконечно много решений: все $x \in (-\infty, -2]$.
• Если $-4 < a < 4$, уравнение имеет один корень: $x = -\frac{a}{2}$.

Ответ: при $|a| > 4$ корней нет; при $a = -4$ — бесконечно много корней ($x \in [2, +\infty)$); при $a = 4$ — бесконечно много корней ($x \in (-\infty, -2]$); при $-4 < a < 4$ — один корень.