Номер 12.25, страница 99 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 12. Уравнения и неравенства, содержащие знак модуля - номер 12.25, страница 99.

Условие.

12.25. Решите неравенство:

1) $2|x+1| - |x-1| > 3;$

2) $|x-1| - 2|x+3| > x+7;$

3) $|x-1| + |x+3| \le 4;$

4) $|x| - 2|x+1| + 3|x+2| \ge 4.$

Решение.

1) Решим неравенство $2|x + 1| - |x - 1| > 3$.

Для решения неравенств с модулями используется метод интервалов. Найдем точки, в которых выражения под модулем обращаются в ноль: $x+1=0 \implies x=-1$ и $x-1=0 \implies x=1$. Эти точки разбивают числовую прямую на три промежутка: $(-\infty, -1)$, $[-1, 1)$ и $[1, +\infty)$. Рассмотрим неравенство на каждом из этих промежутков.

Случай 1: $x \in (-\infty, -1)$.
На этом промежутке оба подмодульных выражения отрицательны: $x+1 < 0$ и $x-1 < 0$. Поэтому $|x+1| = -(x+1)$ и $|x-1| = -(x-1)$. Неравенство принимает вид:
$2(-(x+1)) - (-(x-1)) > 3$
$-2x - 2 + x - 1 > 3$
$-x - 3 > 3$
$-x > 6$
$x < -6$
Решение $x < -6$ полностью принадлежит рассматриваемому промежутку $(-\infty, -1)$, поэтому оно является решением для данного случая.

Случай 2: $x \in [-1, 1)$.
На этом промежутке $x+1 \ge 0$ и $x-1 < 0$. Поэтому $|x+1| = x+1$ и $|x-1| = -(x-1)$. Неравенство принимает вид:
$2(x+1) - (-(x-1)) > 3$
$2x + 2 + x - 1 > 3$
$3x + 1 > 3$
$3x > 2$
$x > 2/3$
Пересекая полученное решение с промежутком $[-1, 1)$, получаем $x \in (2/3, 1)$.

Случай 3: $x \in [1, +\infty)$.
На этом промежутке оба подмодульных выражения неотрицательны: $x+1 > 0$ и $x-1 \ge 0$. Поэтому $|x+1| = x+1$ и $|x-1| = x-1$. Неравенство принимает вид:
$2(x+1) - (x-1) > 3$
$2x + 2 - x + 1 > 3$
$x + 3 > 3$
$x > 0$
Пересекая полученное решение с промежутком $[1, +\infty)$, получаем $x \in [1, +\infty)$.

Объединяя решения из всех трех случаев, получаем итоговый ответ: $(-\infty, -6) \cup (2/3, 1) \cup [1, +\infty) = (-\infty, -6) \cup (2/3, +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty, -6) \cup (2/3, +\infty)$.

2) Решим неравенство $|x - 1| - 2|x + 3| > x + 7$.

Нули подмодульных выражений: $x-1=0 \implies x=1$ и $x+3=0 \implies x=-3$. Рассматриваем три промежутка: $(-\infty, -3)$, $[-3, 1)$ и $[1, +\infty)$.

Случай 1: $x \in (-\infty, -3)$.
$|x-1| = -(x-1)$, $|x+3| = -(x+3)$.
$-(x-1) - 2(-(x+3)) > x + 7$
$-x + 1 + 2x + 6 > x + 7$
$x + 7 > x + 7$
$7 > 7$
Это неравенство неверно. В этом промежутке решений нет.

Случай 2: $x \in [-3, 1)$.
$|x-1| = -(x-1)$, $|x+3| = x+3$.
$-(x-1) - 2(x+3) > x + 7$
$-x + 1 - 2x - 6 > x + 7$
$-3x - 5 > x + 7$
$-4x > 12$
$x < -3$
Пересечение множества $x < -3$ с промежутком $[-3, 1)$ пусто. Решений нет.

Случай 3: $x \in [1, +\infty)$.
$|x-1| = x-1$, $|x+3| = x+3$.
$(x-1) - 2(x+3) > x + 7$
$x - 1 - 2x - 6 > x + 7$
$-x - 7 > x + 7$
$-2x > 14$
$x < -7$
Пересечение множества $x < -7$ с промежутком $[1, +\infty)$ пусто. Решений нет.

Так как ни на одном из промежутков решений нет, исходное неравенство не имеет решений.
Ответ: нет решений.

3) Решим неравенство $|x - 1| + |x + 3| \le 4$.

Нули подмодульных выражений: $x=1$ и $x=-3$. Рассматриваем три промежутка: $(-\infty, -3)$, $[-3, 1)$ и $[1, +\infty)$.

Случай 1: $x \in (-\infty, -3)$.
$|x-1| = -(x-1)$, $|x+3| = -(x+3)$.
$-(x-1) + (-(x+3)) \le 4$
$-x + 1 - x - 3 \le 4$
$-2x - 2 \le 4$
$-2x \le 6$
$x \ge -3$
Пересечение множества $x \ge -3$ с промежутком $(-\infty, -3)$ пусто. Решений нет.

Случай 2: $x \in [-3, 1)$.
$|x-1| = -(x-1)$, $|x+3| = x+3$.
$-(x-1) + (x+3) \le 4$
$-x + 1 + x + 3 \le 4$
$4 \le 4$
Это неравенство верно для всех $x$ из рассматриваемого промежутка. Таким образом, весь интервал $[-3, 1)$ является решением.

Случай 3: $x \in [1, +\infty)$.
$|x-1| = x-1$, $|x+3| = x+3$.
$(x-1) + (x+3) \le 4$
$2x + 2 \le 4$
$2x \le 2$
$x \le 1$
Пересечение множества $x \le 1$ с промежутком $[1, +\infty)$ дает единственное решение $x=1$.

Объединяя решения, полученные в случаях 2 и 3, получаем $[-3, 1) \cup \{1\} = [-3, 1]$.
Ответ: $x \in [-3, 1]$.

4) Решим неравенство $|x| - 2|x + 1| + 3|x + 2| \ge 4$.

Нули подмодульных выражений: $x=0$, $x=-1$, $x=-2$. Эти точки разбивают числовую прямую на четыре промежутка: $(-\infty, -2)$, $[-2, -1)$, $[-1, 0)$ и $[0, +\infty)$.

Случай 1: $x \in (-\infty, -2)$.
$|x|=-x$, $|x+1|=-(x+1)$, $|x+2|=-(x+2)$.
$-x - 2(-(x+1)) + 3(-(x+2)) \ge 4$
$-x + 2x + 2 - 3x - 6 \ge 4$
$-2x - 4 \ge 4$
$-2x \ge 8$
$x \le -4$
Пересечение с $(-\infty, -2)$ дает $x \in (-\infty, -4]$.

Случай 2: $x \in [-2, -1)$.
$|x|=-x$, $|x+1|=-(x+1)$, $|x+2|=x+2$.
$-x - 2(-(x+1)) + 3(x+2) \ge 4$
$-x + 2x + 2 + 3x + 6 \ge 4$
$4x + 8 \ge 4$
$4x \ge -4$
$x \ge -1$
Пересечение множества $x \ge -1$ с промежутком $[-2, -1)$ пусто. Решений нет.

Случай 3: $x \in [-1, 0)$.
$|x|=-x$, $|x+1|=x+1$, $|x+2|=x+2$.
$-x - 2(x+1) + 3(x+2) \ge 4$
$-x - 2x - 2 + 3x + 6 \ge 4$
$4 \ge 4$
Неравенство верно для всех $x$ из этого промежутка. Решение: $x \in [-1, 0)$.

Случай 4: $x \in [0, +\infty)$.
$|x|=x$, $|x+1|=x+1$, $|x+2|=x+2$.
$x - 2(x+1) + 3(x+2) \ge 4$
$x - 2x - 2 + 3x + 6 \ge 4$
$2x + 4 \ge 4$
$2x \ge 0$
$x \ge 0$
Пересечение с $[0, +\infty)$ дает $x \in [0, +\infty)$.

Объединяя все найденные решения: $(-\infty, -4] \cup [-1, 0) \cup [0, +\infty) = (-\infty, -4] \cup [-1, +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty, -4] \cup [-1, +\infty)$.