Номер 12.20, страница 98 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 12. Уравнения и неравенства, содержащие знак модуля - номер 12.20, страница 98.

Условие.

12.20. Решите неравенство:

1) $|x+5| < 2x+3;$

2) $|1-2x| \le x+1;$

3) $|4x+5| > 3x-1;$

4) $|2x-7| \ge x-2.$

Решение.

1)

Решим неравенство $|x + 5| < 2x + 3$.

Неравенство вида $|f(x)| < g(x)$ равносильно системе неравенств:

$ \begin{cases} f(x) < g(x) \\ f(x) > -g(x) \end{cases} $

Также необходимо учесть, что модуль числа — величина неотрицательная, поэтому правая часть неравенства должна быть строго больше нуля: $g(x) > 0$. Если $g(x) \le 0$, неравенство не имеет решений.

Таким образом, получаем систему:

$ \begin{cases} x + 5 < 2x + 3 \\ x + 5 > -(2x + 3) \\ 2x + 3 > 0 \end{cases} $

Решим каждое неравенство системы по отдельности:

1. $x + 5 < 2x + 3 \implies 5 - 3 < 2x - x \implies 2 < x \implies x > 2$

2. $x + 5 > -2x - 3 \implies x + 2x > -3 - 5 \implies 3x > -8 \implies x > -8/3$

3. $2x + 3 > 0 \implies 2x > -3 \implies x > -3/2$

Теперь найдем пересечение решений всех трех неравенств: $x > 2$, $x > -8/3$ и $x > -3/2$. Наиболее сильным является неравенство $x > 2$.

Следовательно, решением системы является $x \in (2; +\infty)$.

Ответ: $x \in (2; +\infty)$.

2)

Решим неравенство $|1 - 2x| \le x + 1$.

Неравенство вида $|f(x)| \le g(x)$ равносильно системе неравенств (двойному неравенству):

$ -(x + 1) \le 1 - 2x \le x + 1 $

Это можно записать в виде системы:

$ \begin{cases} 1 - 2x \le x + 1 \\ 1 - 2x \ge -(x + 1) \end{cases} $

Решим каждое неравенство системы:

1. $1 - 2x \le x + 1 \implies -2x - x \le 1 - 1 \implies -3x \le 0 \implies x \ge 0$

2. $1 - 2x \ge -x - 1 \implies -2x + x \ge -1 - 1 \implies -x \ge -2 \implies x \le 2$

Найдем пересечение решений: $x \ge 0$ и $x \le 2$.

Решением системы является отрезок $[0; 2]$.

Ответ: $x \in [0; 2]$.

3)

Решим неравенство $|4x + 5| > 3x - 1$.

Неравенство вида $|f(x)| > g(x)$ решается рассмотрением двух случаев.

Случай 1: Правая часть неравенства отрицательна.

$3x - 1 < 0 \implies 3x < 1 \implies x < 1/3$.

Поскольку модуль числа всегда неотрицателен ($|4x + 5| \ge 0$), а правая часть отрицательна, неравенство в этом случае выполняется для всех $x$, удовлетворяющих условию $x < 1/3$. То есть, $x \in (-\infty; 1/3)$ является частью решения.

Случай 2: Правая часть неравенства неотрицательна.

$3x - 1 \ge 0 \implies 3x \ge 1 \implies x \ge 1/3$.

В этом случае неравенство $|4x + 5| > 3x - 1$ равносильно совокупности двух неравенств:

$ \begin{cases} 4x + 5 > 3x - 1 \\ 4x + 5 < -(3x - 1) \end{cases} $

Решим каждое из них:

а) $4x + 5 > 3x - 1 \implies 4x - 3x > -1 - 5 \implies x > -6$.

б) $4x + 5 < -3x + 1 \implies 4x + 3x < 1 - 5 \implies 7x < -4 \implies x < -4/7$.

Решением совокупности является объединение этих интервалов: $x \in (-\infty; -4/7) \cup (-6; +\infty)$, что равносильно $x \in (-\infty; +\infty)$.

Теперь найдем пересечение этого решения с условием второго случая $x \ge 1/3$. Пересечение $(-\infty; +\infty)$ и $[1/3; +\infty)$ дает $[1/3; +\infty)$.

Общее решение исходного неравенства является объединением решений из обоих случаев:

$(-\infty; 1/3) \cup [1/3; +\infty) = (-\infty; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

4)

Решим неравенство $|2x - 7| \ge x - 2$.

Рассмотрим два случая в зависимости от знака правой части.

Случай 1: $x - 2 < 0 \implies x < 2$.

Модуль числа $|2x - 7|$ всегда неотрицателен, а правая часть $x-2$ отрицательна. Неотрицательное число всегда больше или равно отрицательному, поэтому неравенство выполняется для всех $x$ из этого промежутка. Решение для этого случая: $x \in (-\infty; 2)$.

Случай 2: $x - 2 \ge 0 \implies x \ge 2$.

При этом условии обе части неравенства неотрицательны. Неравенство $|2x - 7| \ge x - 2$ равносильно совокупности двух неравенств:

$ \begin{cases} 2x - 7 \ge x - 2 \\ 2x - 7 \le -(x - 2) \end{cases} $

Решим каждое:

а) $2x - 7 \ge x - 2 \implies 2x - x \ge -2 + 7 \implies x \ge 5$.

б) $2x - 7 \le -x + 2 \implies 2x + x \le 2 + 7 \implies 3x \le 9 \implies x \le 3$.

Решением совокупности является объединение $x \in (-\infty; 3] \cup [5; +\infty)$.

Найдем пересечение этого решения с условием второго случая $x \ge 2$.

$(-\infty; 3] \cap [2; +\infty) = [2; 3]$.

$[5; +\infty) \cap [2; +\infty) = [5; +\infty)$.

Таким образом, решение для второго случая: $x \in [2; 3] \cup [5; +\infty)$.

Объединим решения из обоих случаев:

$(-\infty; 2) \cup ([2; 3] \cup [5; +\infty)) = (-\infty; 3] \cup [5; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 3] \cup [5; +\infty)$.