Номер 12.13, страница 98 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 12. Уравнения и неравенства, содержащие знак модуля - номер 12.13, страница 98.

Условие.

12.13. Найдите наименьшее значение выражения:

1) $|x| + |x + 4|;$

2) $|x + 2| + |x - 3|.$

Решение.

1)

Чтобы найти наименьшее значение выражения $|x| + |x + 4|$, можно использовать два подхода.

Геометрический подход:

Выражение вида $|x-a| + |x-b|$ представляет собой сумму расстояний от точки $x$ до точек $a$ и $b$ на числовой прямой. Наименьшее значение этой суммы достигается, когда точка $x$ находится на отрезке между $a$ и $b$. В этом случае сумма расстояний равна длине этого отрезка, то есть $|a-b|$.

Перепишем наше выражение в таком виде: $|x| + |x + 4| = |x - 0| + |x - (-4)|$.

Здесь $a=0$ и $b=-4$. Таким образом, мы ищем сумму расстояний от точки $x$ до точек $0$ и $-4$. Эта сумма будет минимальной, когда $x$ находится на отрезке $[-4, 0]$. Минимальное значение равно расстоянию между точками $0$ и $-4$:

$|0 - (-4)| = |4| = 4$.

Алгебраический подход (метод интервалов):

Рассмотрим функцию $f(x) = |x| + |x + 4|$. Выражения под знаком модуля обращаются в ноль при $x=0$ и $x=-4$. Эти точки делят числовую прямую на три промежутка. Раскроем модули на каждом из них:

1. При $x < -4$: оба выражения под модулем отрицательны.
   $f(x) = (-x) + (-(x+4)) = -x - x - 4 = -2x - 4$.
   На этом промежутке функция убывает.

2. При $-4 \le x < 0$: выражение $x$ отрицательно, а $x+4$ — неотрицательно.
   $f(x) = (-x) + (x+4) = -x + x + 4 = 4$.
   На этом промежутке функция постоянна и равна 4.

3. При $x \ge 0$: оба выражения под модулем неотрицательны.
   $f(x) = x + (x+4) = 2x + 4$.
   На этом промежутке функция возрастает.

Таким образом, функция убывает до значения 4, затем остается постоянной (равной 4) на отрезке $[-4, 0]$, а затем возрастает. Следовательно, наименьшее значение функции равно 4.

Ответ: 4.

2)

Для нахождения наименьшего значения выражения $|x + 2| + |x - 3|$ также воспользуемся двумя подходами.

Геометрический подход:

Как и в предыдущем пункте, интерпретируем выражение как сумму расстояний на числовой прямой. Перепишем выражение в стандартном виде: $|x - (-2)| + |x - 3|$.

Это сумма расстояний от точки $x$ до точек $a=-2$ и $b=3$. Наименьшее значение эта сумма принимает, когда точка $x$ находится на отрезке $[-2, 3]$. Это минимальное значение равно расстоянию между точками $-2$ и $3$:

$|3 - (-2)| = |3 + 2| = |5| = 5$.

Алгебраический подход (метод интервалов):

Рассмотрим функцию $g(x) = |x + 2| + |x - 3|$. Точки, в которых выражения под модулем равны нулю: $x=-2$ и $x=3$. Они разбивают числовую ось на три промежутка.

1. При $x < -2$: оба выражения под модулем отрицательны.
   $g(x) = -(x+2) + (-(x-3)) = -x - 2 - x + 3 = -2x + 1$.
   На этом промежутке функция убывает.

2. При $-2 \le x < 3$: выражение $x+2$ неотрицательно, а $x-3$ — отрицательно.
   $g(x) = (x+2) + (-(x-3)) = x + 2 - x + 3 = 5$.
   На этом промежутке функция постоянна и равна 5.

3. При $x \ge 3$: оба выражения под модулем неотрицательны.
   $g(x) = (x+2) + (x-3) = 2x - 1$.
   На этом промежутке функция возрастает.

Функция убывает до значения 5, затем на отрезке $[-2, 3]$ равна 5, а после этого возрастает. Значит, наименьшее значение функции равно 5.

Ответ: 5.