Номер 12.11, страница 98 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 12. Уравнения и неравенства, содержащие знак модуля - номер 12.11, страница 98.

Условие.

12.11. Докажите, что:

1) $|a + b| \leq |a| + |b|$;

2) $|a - b| \geq |a| - |b|$;

3) $|a + b| = |a| + |b|$ тогда и только тогда, когда $ab \geq 0$;

4) $|a| + |b| = a + b$ тогда и только тогда, когда $a \geq 0$ и $b \geq 0$;

5) $|a - b| = |a| + |b|$ тогда и только тогда, когда $ab \leq 0$.

Решение.

1)

Это неравенство известно как неравенство треугольника. Докажем его, используя основные свойства абсолютной величины.

По определению абсолютного значения, для любого действительного числа $x$ справедливо двойное неравенство: $-|x| \le x \le |x|$.

Применим это свойство для чисел $a$ и $b$:

$-|a| \le a \le |a|$

$-|b| \le b \le |b|$

Сложим эти два неравенства почленно (складываем левые, средние и правые части соответственно):

$-|a| - |b| \le a + b \le |a| + |b|$

Это можно переписать в виде:

$-(|a| + |b|) \le a + b \le |a| + |b|$

Данное двойное неравенство, согласно определению модуля $|X| \le C \iff -C \le X \le C$, эквивалентно неравенству $|a + b| \le |a| + |b|$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

2)

Это неравенство также является следствием неравенства треугольника. Воспользуемся доказанным в пункте 1) неравенством: $|x + y| \le |x| + |y|$.

Представим число $a$ в виде суммы: $a = (a-b) + b$.

Теперь применим неравенство треугольника к модулю числа $a$:

$|a| = |(a - b) + b| \le |a - b| + |b|$

Мы получили неравенство $|a| \le |a - b| + |b|$. Перенесем $|b|$ в левую часть:

$|a| - |b| \le |a - b|$

Это равносильно тому, что требовалось доказать: $|a - b| \ge |a| - |b|$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

3)

Это утверждение "тогда и только тогда", поэтому необходимо доказать его в обе стороны.

Прямое доказательство ($\Rightarrow$): Докажем, что если $|a + b| = |a| + |b|$, то $ab \ge 0$.

Возведем обе части равенства в квадрат. Поскольку обе части неотрицательны, такое преобразование является равносильным.

$|a + b|^2 = (|a| + |b|)^2$

Используя свойство $|x|^2 = x^2$, раскрываем скобки:

$(a + b)^2 = |a|^2 + 2|a||b| + |b|^2$

$a^2 + 2ab + b^2 = a^2 + 2|ab| + b^2$

Вычитая $a^2 + b^2$ из обеих частей, получаем:

$2ab = 2|ab|$, или $ab = |ab|$.

По определению модуля, равенство $x = |x|$ выполняется только тогда, когда $x \ge 0$. Следовательно, $ab \ge 0$.

Обратное доказательство ($\Leftarrow$): Докажем, что если $ab \ge 0$, то $|a + b| = |a| + |b|$.

Условие $ab \ge 0$ означает, что числа $a$ и $b$ имеют одинаковый знак (оба неотрицательны или оба неположительны), либо одно из них (или оба) равно нулю.

• Если $a \ge 0$ и $b \ge 0$, то $a+b \ge 0$. Тогда $|a|=a$, $|b|=b$ и $|a+b|=a+b$. Равенство $|a+b|=|a|+|b|$ принимает вид $a+b=a+b$, что верно.
• Если $a \le 0$ и $b \le 0$, то $a+b \le 0$. Тогда $|a|=-a$, $|b|=-b$ и $|a+b|=-(a+b)$. Равенство принимает вид $-(a+b)=(-a)+(-b)$, что является верным тождеством.
• Если $a=0$ или $b=0$, равенство очевидно выполняется. Например, при $a=0$: $|0+b| = |0|+|b| \Rightarrow |b|=|b|$.

Таким образом, утверждение доказано в обе стороны.

Ответ: Утверждение доказано.

4)

Это утверждение "тогда и только тогда", поэтому докажем его в обе стороны.

Прямое доказательство ($\Rightarrow$): Докажем, что если $|a| + |b| = a + b$, то $a \ge 0$ и $b \ge 0$.

По определению абсолютного значения, для любых чисел справедливы неравенства $a \le |a|$ и $b \le |b|$. Сложив эти неравенства, получим $a+b \le |a|+|b|$.

Равенство $a+b = |a|+|b|$ в этом соотношении может достигаться только в том случае, когда оба исходных неравенства обращаются в равенства, то есть когда одновременно выполняются условия $a = |a|$ и $b = |b|$.

Равенство $x = |x|$ справедливо тогда и только тогда, когда $x \ge 0$.

Следовательно, из $a = |a|$ следует $a \ge 0$, а из $b = |b|$ следует $b \ge 0$.

Обратное доказательство ($\Leftarrow$): Докажем, что если $a \ge 0$ и $b \ge 0$, то $|a| + |b| = a + b$.

Если $a \ge 0$, то по определению $|a| = a$.

Если $b \ge 0$, то по определению $|b| = b$.

Подставляя эти выражения в левую часть доказываемого равенства, получаем: $|a| + |b| = a + b$, что совпадает с правой частью. Равенство выполняется.

Таким образом, утверждение доказано в обе стороны.

Ответ: Утверждение доказано.

5)

Это утверждение "тогда и только тогда". Для его доказательства воспользуемся результатом, полученным в пункте 3).

Заметим, что $|-b| = |b|$. Тогда равенство $|a - b| = |a| + |b|$ можно переписать в следующем виде:

$|a + (-b)| = |a| + |-b|$

В пункте 3) мы доказали, что равенство вида $|x+y| = |x|+|y|$ выполняется тогда и только тогда, когда $xy \ge 0$.

Применим это свойство к нашему случаю, положив $x=a$ и $y=-b$.

Равенство $|a + (-b)| = |a| + |-b|$ будет выполняться тогда и только тогда, когда произведение $a \cdot (-b) \ge 0$.

Неравенство $a(-b) \ge 0$ эквивалентно неравенству $-ab \ge 0$, что, в свою очередь, эквивалентно $ab \le 0$.

Таким образом, мы доказали, что $|a - b| = |a| + |b|$ тогда и только тогда, когда $ab \le 0$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.