Номер 12.10, страница 98 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 12. Уравнения и неравенства, содержащие знак модуля - номер 12.10, страница 98.

Условие.

12.10. Решите неравенство:

1) $|x-3| \le 6;$

2) $|3x-2| \ge 3;$

3) $|1-4x| < 2;$

4) $|5x+2| > 6.$

Решение.

1) $|x-3| \le 6$

Неравенство вида $|a| \le b$ (где $b>0$) равносильно двойному неравенству $-b \le a \le b$.

Применив это правило, получаем:

$-6 \le x-3 \le 6$

Чтобы найти $x$, прибавим 3 ко всем частям неравенства:

$-6 + 3 \le x - 3 + 3 \le 6 + 3$

$-3 \le x \le 9$

Решением является числовой промежуток $[-3; 9]$.

Ответ: $x \in [-3; 9]$.

2) $|3x-2| \ge 3$

Неравенство вида $|a| \ge b$ (где $b>0$) равносильно совокупности двух неравенств: $a \ge b$ или $a \le -b$.

Таким образом, исходное неравенство распадается на два случая:

1) $3x-2 \ge 3$

$3x \ge 3+2$

$3x \ge 5$

$x \ge \frac{5}{3}$

2) $3x-2 \le -3$

$3x \le -3+2$

$3x \le -1$

$x \le -\frac{1}{3}$

Объединяя решения обоих случаев, получаем множество решений.

Ответ: $x \in (-\infty; -1/3] \cup [5/3; +\infty)$.

3) $|1-4x| < 2$

Неравенство вида $|a| < b$ (где $b>0$) равносильно двойному неравенству $-b < a < b$.

Применив это правило, получаем:

$-2 < 1-4x < 2$

Вычтем 1 из всех частей неравенства:

$-2 - 1 < 1 - 4x - 1 < 2 - 1$

$-3 < -4x < 1$

Разделим все части неравенства на -4. При делении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$\frac{-3}{-4} > x > \frac{1}{-4}$

$\frac{3}{4} > x > -\frac{1}{4}$

Запишем это в стандартном виде (от меньшего к большему):

$-\frac{1}{4} < x < \frac{3}{4}$

Решением является интервал $(-1/4; 3/4)$.

Ответ: $x \in (-1/4; 3/4)$.

4) $|5x+2| > 6$

Неравенство вида $|a| > b$ (где $b>0$) равносильно совокупности двух неравенств: $a > b$ или $a < -b$.

Таким образом, исходное неравенство распадается на два случая:

1) $5x+2 > 6$

$5x > 6-2$

$5x > 4$

$x > \frac{4}{5}$

2) $5x+2 < -6$

$5x < -6-2$

$5x < -8$

$x < -\frac{8}{5}$

Объединяя решения обоих случаев, получаем множество решений.

Ответ: $x \in (-\infty; -8/5) \cup (4/5; +\infty)$.