Номер 12.3, страница 97 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 12. Уравнения и неравенства, содержащие знак модуля - номер 12.3, страница 97.

Условие.

12.3. Докажите, что:

1) $|ab| = |a| \cdot |b|;$

2) $|\frac{a}{b}| = \frac{|a|}{|b|}, b \neq 0;$

3) $(|a|)^2 = |a^2| = a^2;$

4) $|a-b| = |b-a|;$

5) $-|a| \leq a \leq |a|.$

Решение.

1) $|ab| = |a| \cdot |b|$

Для доказательства этого свойства модуля воспользуемся определением модуля через квадратный корень: $|x| = \sqrt{x^2}$.

Применим это определение к левой части доказываемого равенства:

$|ab| = \sqrt{(ab)^2} = \sqrt{a^2b^2}$.

Теперь применим его к правой части:

$|a| \cdot |b| = \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{b^2}$.

Согласно свойству корней, произведение корней равно корню из произведения: $\sqrt{x} \cdot \sqrt{y} = \sqrt{xy}$ (для $x \ge 0, y \ge 0$). Так как $a^2 \ge 0$ и $b^2 \ge 0$, мы можем применить это свойство:

$\sqrt{a^2} \cdot \sqrt{b^2} = \sqrt{a^2b^2}$.

Таким образом, левая и правая части равенства равны одному и тому же выражению: $|ab| = \sqrt{a^2b^2}$ и $|a| \cdot |b| = \sqrt{a^2b^2}$.

Следовательно, равенство $|ab| = |a| \cdot |b|$ верно.

Ответ: Доказано.

2) $|\frac{a}{b}| = \frac{|a|}{|b|}$, $b \ne 0$

Для доказательства этого свойства воспользуемся уже доказанным свойством модуля произведения: $|xy| = |x| \cdot |y|$.

Пусть $c = \frac{a}{b}$. Тогда $a = b \cdot c$.

Возьмем модуль от обеих частей равенства $a = bc$:

$|a| = |bc|$.

Применяя свойство модуля произведения к правой части, получаем:

$|a| = |b| \cdot |c|$.

Так как по условию $b \ne 0$, то и $|b| \ne 0$. Мы можем разделить обе части равенства на $|b|$:

$|c| = \frac{|a|}{|b|}$.

Подставим обратно $c = \frac{a}{b}$:

$|\frac{a}{b}| = \frac{|a|}{|b|}$.

Равенство доказано.

Ответ: Доказано.

3) $(|a|)^2 = |a^2| = a^2$

Докажем это тождество по частям.

Часть 1: Докажем, что $(|a|)^2 = a^2$.

Рассмотрим два случая, исходя из определения модуля:

• Если $a \ge 0$, то $|a| = a$. Тогда $(|a|)^2 = (a)^2 = a^2$.
• Если $a < 0$, то $|a| = -a$. Тогда $(|a|)^2 = (-a)^2 = a^2$.

В обоих случаях мы получаем, что $(|a|)^2 = a^2$.

Часть 2: Докажем, что $|a^2| = a^2$.

Для любого действительного числа $a$, его квадрат $a^2$ всегда неотрицателен, то есть $a^2 \ge 0$.

По определению модуля, для любого неотрицательного выражения $x \ge 0$ справедливо $|x| = x$.

Применив это к выражению $a^2$, получаем $|a^2| = a^2$.

Так как мы показали, что $(|a|)^2 = a^2$ и $|a^2| = a^2$, то все три выражения равны между собой: $(|a|)^2 = |a^2| = a^2$.

Ответ: Доказано.

4) $|a-b| = |b-a|$

Для доказательства воспользуемся свойством модуля $|-x| = |x|$.

Сначала докажем это вспомогательное свойство. Рассмотрим два случая:

• Если $x \ge 0$, то $-x \le 0$. По определению модуля, $|x| = x$ и $|-x| = -(-x) = x$. Следовательно, $|-x| = |x|$.
• Если $x < 0$, то $-x > 0$. По определению модуля, $|x| = -x$ и $|-x| = -x$. Следовательно, $|-x| = |x|$.

Таким образом, свойство $|-x| = |x|$ верно для любого действительного числа $x$.

Теперь вернемся к исходному равенству. Заметим, что выражение $b-a$ можно представить как $-(a-b)$.

Тогда $|b-a| = |-(a-b)|$.

Применив доказанное свойство $|-x| = |x|$, где $x = a-b$, получаем:

$|-(a-b)| = |a-b|$.

Следовательно, $|a-b| = |b-a|$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

5) $-|a| \le a \le |a|$

Это двойное неравенство, докажем каждую его часть отдельно.

Часть 1: Докажем, что $a \le |a|$.

Рассмотрим два случая:

• Если $a \ge 0$, то по определению модуля $|a| = a$. Неравенство принимает вид $a \le a$, что является верным.
• Если $a < 0$, то по определению модуля $|a| = -a$. Так как $a$ отрицательно, то $-a$ положительно. Любое отрицательное число меньше любого положительного, поэтому $a < -a$, что означает $a \le |a|$.

Таким образом, неравенство $a \le |a|$ верно для любого действительного числа $a$.

Часть 2: Докажем, что $-|a| \le a$.

Рассмотрим те же два случая:

• Если $a \ge 0$, то $|a| = a$, и $-|a| = -a$. Неравенство принимает вид $-a \le a$. Перенесем $-a$ в правую часть: $0 \le 2a$. Так как $a \ge 0$, это неравенство верно.
• Если $a < 0$, то $|a| = -a$, и $-|a| = -(-a) = a$. Неравенство принимает вид $a \le a$, что является верным.

Таким образом, неравенство $-|a| \le a$ также верно для любого действительного числа $a$.

Поскольку обе части двойного неравенства верны, то и все неравенство $-|a| \le a \le |a|$ доказано.

Ответ: Доказано.