Вопросы?, страница 97 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 12. Уравнения и неравенства, содержащие знак модуля - страница 97.

Условие.

1. Сформулируйте определение модуля числа.

2. Что надо знать, чтобы раскрыть модуль числа?

3. Сформулируйте свойства, которые следуют из определения модуля.

4. Сформулируйте теоремы о решении неравенств, содержащих знак модуля.

Решение.

1. Сформулируйте определение модуля числа.

Модулем (или абсолютной величиной) действительного числа $a$ называется само это число, если оно неотрицательно, и противоположное ему число, если оно отрицательно. Модуль числа $a$ обозначается как $|a|$ и формально определяется как кусочно-заданная функция:

$|a| = \begin{cases} a, & \text{если } a \ge 0 \\ -a, & \text{если } a < 0 \end{cases}$

С геометрической точки зрения, модуль числа $a$ представляет собой расстояние на координатной прямой от точки, соответствующей числу $a$, до начала отсчёта (точки 0). Поскольку расстояние не может быть отрицательным, модуль любого числа всегда является неотрицательной величиной.

Ответ: Модуль неотрицательного числа равен самому числу, а модуль отрицательного числа равен противоположному ему числу.

2. Что надо знать, чтобы раскрыть модуль числа?

Чтобы раскрыть (или снять) знак модуля с выражения, например $|A|$, необходимо знать знак этого подмодульного выражения $A$. Раскрытие модуля происходит по следующему правилу, вытекающему непосредственно из определения:

• Если выражение под знаком модуля неотрицательно, то есть $A \ge 0$, то знак модуля просто опускается: $|A| = A$.
• Если выражение под знаком модуля отрицательно, то есть $A < 0$, то при раскрытии модуля выражение заменяется на противоположное: $|A| = -A$.

Таким образом, ключевым шагом является определение, на каких промежутках подмодульное выражение положительно, отрицательно или равно нулю.

Ответ: Чтобы раскрыть модуль числа (или выражения), нужно знать знак этого числа (или выражения).

3. Сформулируйте свойства, которые следуют из определения модуля.

Из определения модуля числа вытекают следующие основные свойства (для любых действительных чисел $a$ и $b$):

1. Модуль любого числа есть число неотрицательное: $|a| \ge 0$.
2. Модуль числа равен нулю тогда и только тогда, когда само число равно нулю: $|a| = 0 \iff a = 0$.
3. Модули противоположных чисел равны: $|a| = |-a|$.
4. Квадрат модуля числа равен квадрату этого числа: $|a|^2 = a^2$.
5. Модуль произведения двух чисел равен произведению их модулей: $|ab| = |a| \cdot |b|$.
6. Модуль частного двух чисел равен частному их модулей (при $b \ne 0$): $|\frac{a}{b}| = \frac{|a|}{|b|}$.
7. Неравенство треугольника: модуль суммы двух чисел не превосходит суммы их модулей: $|a + b| \le |a| + |b|$. Равенство достигается тогда и только тогда, когда числа $a$ и $b$ имеют одинаковый знак или хотя бы одно из них равно нулю.

Ответ: К основным свойствам модуля относятся его неотрицательность, равенство нулю только для нулевого аргумента, равенство модулей противоположных чисел, а также правила для модуля произведения, частного и суммы (неравенство треугольника).

4. Сформулируйте теоремы о решении неравенств, содержащих знак модуля.

Решение неравенств с модулем основано на следующих теоремах, которые позволяют переходить к равносильным системам или совокупностям неравенств без знака модуля.

Теорема 1. Неравенство вида $|f(x)| \le a$ (где $a$ — некоторое число):

• если $a > 0$, то оно равносильно двойному неравенству: $-a \le f(x) \le a$.
• если $a = 0$, то оно равносильно уравнению: $f(x) = 0$.
• если $a < 0$, то неравенство не имеет решений.

Аналогичные утверждения справедливы для строгого неравенства $|f(x)| < a$.

Теорема 2. Неравенство вида $|f(x)| \ge a$ (где $a$ — некоторое число):

• если $a > 0$, то оно равносильно совокупности двух неравенств: $f(x) \ge a$ или $f(x) \le -a$.
• если $a \le 0$, то неравенство выполняется для всех $x$ из области определения функции $f(x)$.

Аналогичные утверждения справедливы для строгого неравенства $|f(x)| > a$.

Теорема 3. Неравенство вида $|f(x)| \le |g(x)|$. Поскольку обе части неравенства неотрицательны, его можно возвести в квадрат, получив равносильное неравенство:$f^2(x) \le g^2(x)$которое, в свою очередь, равносильно неравенству:$(f(x) - g(x))(f(x) + g(x)) \le 0$. Аналогичное утверждение справедливо для строгого неравенства.

Ответ: Сформулированы три основные теоремы, позволяющие переходить от неравенств с модулем вида $|f(x)| \le a$, $|f(x)| \ge a$ и $|f(x)| \le |g(x)|$ к равносильным системам или совокупностям неравенств без модуля.