Номер 11.38, страница 90 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 11. Системы и совокупности линейных неравенств с одной переменной - номер 11.38, страница 90.

Условие.

11.38. При каких значениях параметра $a$ решением системы $\begin{cases} a-7 \le x \le a, \\ x \le 3 \end{cases}$ является отрезок, длина которого равна 4?

Решение.

Дана система неравенств: $$ \begin{cases} a - 7 \le x \le a, \\ x \le 3 \end{cases} $$

Решением первого неравенства $a - 7 \le x \le a$ является отрезок $[a-7, a]$. Длина этого отрезка равна $a - (a - 7) = 7$.

Решением второго неравенства $x \le 3$ является луч $(-\infty, 3]$.

Решением системы является пересечение этих двух множеств: $[a-7, a] \cap (-\infty, 3]$. Результатом пересечения является отрезок, левая граница которого $a-7$, а правая граница $\min(a, 3)$. То есть, решение системы — это отрезок $[a-7, \min(a, 3)]$. Чтобы это пересечение было непустым отрезком, должно выполняться условие $a-7 \le \min(a, 3)$.

Длина отрезка-решения равна разности его концов: $L = \min(a, 3) - (a-7)$. Согласно условию задачи, длина этого отрезка должна быть равна 4. Составим и решим уравнение: $$ \min(a, 3) - (a - 7) = 4 $$

Для решения данного уравнения рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: $a \le 3$.
В этом случае $\min(a, 3) = a$. Отрезок $[a-7, a]$ полностью содержится в луче $(-\infty, 3]$, поэтому решением системы является сам отрезок $[a-7, a]$. Его длина равна $a - (a - 7) = 7$. Поскольку $7 \ne 4$, данный случай не удовлетворяет условию задачи.

Случай 2: $a > 3$.
В этом случае $\min(a, 3) = 3$. Решением системы является отрезок $[a-7, 3]$. Длина этого отрезка равна $3 - (a - 7)$. Приравняем длину к 4 в соответствии с условием: $$ 3 - (a - 7) = 4 $$ $$ 3 - a + 7 = 4 $$ $$ 10 - a = 4 $$ $$ a = 6 $$ Проверим, удовлетворяет ли найденное значение $a=6$ условию этого случая ($a > 3$). Так как $6 > 3$, условие выполняется, и $a=6$ является решением.

Таким образом, единственное значение параметра $a$, удовлетворяющее условию задачи, — это $a=6$.
Ответ: $6$.