Номер 11.35, страница 89 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 11. Системы и совокупности линейных неравенств с одной переменной - номер 11.35, страница 89.

Условие.

11.35. При каких значениях параметра $a$ наименьшим целым решением системы неравенств $\begin{cases} x \ge 6, \\ x > a \end{cases}$ является число 9?

Решение.

Нам дана система неравенств: $$ \begin{cases} x \ge 6, \\ x > a \end{cases} $$ Решением системы является пересечение множеств решений каждого из неравенств. Это означает, что $x$ должен быть одновременно больше или равен 6 и строго больше $a$. Следовательно, решение системы можно записать как $x > \max(6, a)$.

По условию задачи, наименьшим целым решением системы является число 9. Это означает, что число 9 должно удовлетворять неравенству $x > \max(6, a)$, а предыдущее целое число, то есть 8, не должно ему удовлетворять.

Таким образом, должны выполняться два условия:
1) $9 > \max(6, a)$
2) $8 \le \max(6, a)$

Объединим эти два условия в одно двойное неравенство: $$8 \le \max(6, a) < 9$$

Рассмотрим значение $\max(6, a)$. Если $a \le 6$, то $\max(6, a) = 6$. Тогда неравенство $8 \le 6 < 9$ неверно, так как $8 \le 6$ — ложь. Следовательно, случай $a \le 6$ невозможен.

Значит, должно выполняться условие $a > 6$. В этом случае $\max(6, a) = a$. Подставим это в наше двойное неравенство: $$8 \le a < 9$$ Это и есть искомый диапазон значений для параметра $a$.

Ответ: $8 \le a < 9$.