Номер 11.37, страница 89 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 11. Системы и совокупности линейных неравенств с одной переменной - номер 11.37, страница 89.

Условие.

11.37. При каких значениях параметра $a$ решением системы

$$\begin{cases} a \le x \le a+8, \\ x \ge 4 \end{cases}$$

является отрезок, длина которого равна 5?

Решение.

Решением данной системы неравенств$ \begin{cases} a \le x \le a+8, \\ x \ge 4 \end{cases} $является пересечение двух множеств: отрезка $[a, a+8]$ и луча $[4, +\infty)$.

Пересечение этих множеств, $[a, a+8] \cap [4, +\infty)$, является отрезком, если оно непусто. Условие непустого пересечения заключается в том, что правая граница первого отрезка должна быть больше или равна левой границе второго: $a+8 \ge 4$, откуда следует $a \ge -4$.

При выполнении условия $a \ge -4$ решением системы является отрезок, левая граница которого равна наибольшему из чисел $a$ и $4$, то есть $\max(a, 4)$, а правая граница равна $a+8$. Таким образом, множество решений — это отрезок $[\max(a, 4), a+8]$.

Длина этого отрезка равна разности его концов: $(a+8) - \max(a, 4)$. По условию задачи, эта длина должна равняться 5. Составим уравнение:$(a+8) - \max(a, 4) = 5$

Для решения этого уравнения рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: $a \ge 4$. В этом случае $\max(a, 4) = a$. Подставляем это в уравнение:$(a+8) - a = 5$$8 = 5$Полученное равенство является ложным, следовательно, при $a \ge 4$ решений нет.

Случай 2: $a < 4$. В этом случае $\max(a, 4) = 4$. Подставляем это в уравнение:$(a+8) - 4 = 5$$a + 4 = 5$$a = 1$

Проверим, удовлетворяет ли найденное значение $a=1$ условиям, при которых мы его получили. Условие $a < 4$ выполняется, так как $1 < 4$. Также выполняется условие непустого пересечения $a \ge -4$, так как $1 \ge -4$. Следовательно, $a=1$ является единственным решением.

Ответ: $1$.