Номер 11.40, страница 90 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 11. Системы и совокупности линейных неравенств с одной переменной - номер 11.40, страница 90.

Условие.

11.40. Для каждого значения параметра $a$ решите неравенство:

1) $\vert x+a \vert (x+1) > 0;$

2) $\vert x+a \vert (x+1) \ge 0;$

3) $(x+a) \vert x+1 \vert < 0;$

4) $(x+a) \vert x+1 \vert \le 0.$

Решение.

1) Решим неравенство $|x+a|(x+1) > 0$.

Поскольку множитель $|x+a|$ всегда неотрицателен (то есть $|x+a| \ge 0$), данное неравенство будет выполняться только тогда, когда оба множителя строго положительны.

Это равносильно системе неравенств:

$\begin{cases} |x+a| > 0 \\ x+1 > 0 \end{cases}$

Первое неравенство $|x+a| > 0$ выполняется при всех $x$, для которых $x+a \neq 0$, то есть $x \neq -a$.

Второе неравенство $x+1 > 0$ выполняется при $x > -1$.

Таким образом, нам нужно найти все $x$, удовлетворяющие одновременно условиям $x > -1$ и $x \neq -a$. Для этого необходимо сравнить значения $-a$ и $-1$.

Случай 1: $-a > -1$, что равносильно $a < 1$.
В этом случае точка $x = -a$ лежит внутри интервала $(-1, \infty)$, и её нужно исключить из решения. Получаем $x \in (-1, -a) \cup (-a, \infty)$.

Случай 2: $-a \le -1$, что равносильно $a \ge 1$.
В этом случае точка $x = -a$ либо совпадает с $-1$, либо лежит левее. Для всех $x > -1$ условие $x \neq -a$ выполняется автоматически. Следовательно, решением является весь интервал $x > -1$, то есть $x \in (-1, \infty)$.

Ответ: если $a < 1$, то $x \in (-1, -a) \cup (-a, \infty)$; если $a \ge 1$, то $x \in (-1, \infty)$.

2) Решим неравенство $|x+a|(x+1) \ge 0$.

Множитель $|x+a|$ всегда неотрицателен. Произведение будет неотрицательным в двух случаях:

1. Когда $x+1 \ge 0$, то есть $x \ge -1$. В этом случае произведение неотрицательного числа $|x+a|$ и неотрицательного $x+1$ будет неотрицательным.

2. Когда произведение равно нулю. Это происходит, если один из множителей равен нулю: $|x+a| = 0$ (то есть $x = -a$) или $x+1 = 0$ (то есть $x = -1$).

Объединяя эти условия, получаем, что решением является множество $\{x | x \ge -1\} \cup \{-a\}$. Рассмотрим, как это множество выглядит в зависимости от параметра $a$.

Случай 1: Точка $x = -a$ принадлежит множеству $\{x | x \ge -1\}$.
Это происходит, когда $-a \ge -1$, что равносильно $a \le 1$. В этом случае объединение множеств дает $x \in [-1, \infty)$.

Случай 2: Точка $x = -a$ не принадлежит множеству $\{x | x \ge -1\}$.
Это происходит, когда $-a < -1$, что равносильно $a > 1$. В этом случае точка $x=-a$ является изолированным решением, и общее решение имеет вид $x \in \{-a\} \cup [-1, \infty)$.

Ответ: если $a \le 1$, то $x \in [-1, \infty)$; если $a > 1$, то $x \in \{-a\} \cup [-1, \infty)$.

3) Решим неравенство $(x+a)|x+1| < 0$.

Поскольку множитель $|x+1|$ всегда неотрицателен, произведение может быть строго отрицательным только тогда, когда $|x+1| > 0$ и множитель $(x+a)$ строго отрицателен.

Это равносильно системе неравенств:

$\begin{cases} |x+1| > 0 \\ x+a < 0 \end{cases}$

Первое неравенство $|x+1| > 0$ выполняется при всех $x$, для которых $x+1 \neq 0$, то есть $x \neq -1$.

Второе неравенство $x+a < 0$ выполняется при $x < -a$.

Итак, ищем все $x$, удовлетворяющие условиям $x < -a$ и $x \neq -1$. Сравним значения $-a$ и $-1$.

Случай 1: $-a > -1$, что равносильно $a < 1$.
Точка $x = -1$ лежит в интервале $(-\infty, -a)$, и ее нужно исключить. Решение: $x \in (-\infty, -1) \cup (-1, -a)$.

Случай 2: $-a = -1$, что равносильно $a = 1$.
Система принимает вид $\begin{cases} x < -1 \\ x \neq -1 \end{cases}$, что равносильно $x < -1$. Решение: $x \in (-\infty, -1)$.

Случай 3: $-a < -1$, что равносильно $a > 1$.
Точка $x = -1$ не попадает в интервал $(-\infty, -a)$, так как $-a < -1$. Поэтому для всех $x < -a$ условие $x \neq -1$ выполняется автоматически. Решение: $x \in (-\infty, -a)$.

Ответ: если $a < 1$, то $x \in (-\infty, -1) \cup (-1, -a)$; если $a=1$, то $x \in (-\infty, -1)$; если $a > 1$, то $x \in (-\infty, -a)$.

4) Решим неравенство $(x+a)|x+1| \le 0$.

Множитель $|x+1|$ всегда неотрицателен. Неравенство выполняется в двух случаях:

1. Когда произведение равно нулю. Это происходит при $x+a = 0$ (то есть $x = -a$) или $|x+1| = 0$ (то есть $x = -1$). Таким образом, $x=-1$ и $x=-a$ всегда являются решениями.

2. Когда произведение строго отрицательно: $(x+a)|x+1| < 0$. Это возможно, только если $|x+1| > 0$ (то есть $x \neq -1$) и $x+a < 0$ (то есть $x < -a$).

Объединим все условия: решением является множество $\{x | x \le -a\} \cup \{-1\}$. Проанализируем это объединение.

Случай 1: Точка $x = -1$ принадлежит множеству $\{x | x \le -a\}$.
Это происходит, когда $-1 \le -a$, что равносильно $a \le 1$. В этом случае объединение множеств дает $x \le -a$, или $x \in (-\infty, -a]$.

Случай 2: Точка $x = -1$ не принадлежит множеству $\{x | x \le -a\}$.
Это происходит, когда $-1 > -a$, что равносильно $a > 1$. В этом случае точка $x=-1$ является изолированным решением, и общее решение имеет вид $x \in (-\infty, -a] \cup \{-1\}$.

Ответ: если $a \le 1$, то $x \in (-\infty, -a]$; если $a > 1$, то $x \in (-\infty, -a] \cup \{-1\}$.