Номер 12.2, страница 97 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 12. Уравнения и неравенства, содержащие знак модуля - номер 12.2, страница 97.

Условие.

12.2. Раскройте модуль:

1) $ \left|\frac{\pi}{4} - 0,7\right|; $

2) $ \left|\frac{\pi}{4} - 0,8\right|; $

3) $ \left|\pi - 3,15\right|; $

4) $ \left|x^4 + 2\right|; $

5) $ \left|x^2 + x + \frac{1}{4}\right|; $

6) $ \left|x^2 + 4x + 5\right|. $

Решение.

1) Чтобы раскрыть модуль $|\frac{\pi}{4} - 0,7|$, необходимо определить знак выражения, стоящего под знаком модуля. Для этого сравним значения $\frac{\pi}{4}$ и $0,7$.
Используем приближенное значение числа $\pi \approx 3,1416$.
$\frac{\pi}{4} \approx \frac{3,1416}{4} \approx 0,7854$.
Так как $0,7854 > 0,7$, то разность $\frac{\pi}{4} - 0,7$ является положительным числом.
По определению модуля, если подмодульное выражение неотрицательно, то модуль равен самому выражению.
Следовательно, $|\frac{\pi}{4} - 0,7| = \frac{\pi}{4} - 0,7$.
Ответ: $\frac{\pi}{4} - 0,7$.

2) Чтобы раскрыть модуль $|\frac{\pi}{4} - 0,8|$, сравним значения $\frac{\pi}{4}$ и $0,8$.
Как было вычислено ранее, $\frac{\pi}{4} \approx 0,7854$.
Так как $0,7854 < 0,8$, то разность $\frac{\pi}{4} - 0,8$ является отрицательным числом.
По определению модуля, если подмодульное выражение отрицательно, то модуль равен противоположному ему выражению.
Следовательно, $|\frac{\pi}{4} - 0,8| = -(\frac{\pi}{4} - 0,8) = 0,8 - \frac{\pi}{4}$.
Ответ: $0,8 - \frac{\pi}{4}$.

3) Чтобы раскрыть модуль $|\pi - 3,15|$, сравним значения $\pi$ и $3,15$.
Используем приближенное значение $\pi \approx 3,14159$.
Так как $3,14159 < 3,15$, то разность $\pi - 3,15$ является отрицательным числом.
Следовательно, модуль раскрывается со знаком минус: $|\pi - 3,15| = -(\pi - 3,15) = 3,15 - \pi$.
Ответ: $3,15 - \pi$.

4) Рассмотрим выражение под модулем: $x^4 + 2$.
Для любого действительного числа $x$, $x$ в четвертой степени будет неотрицательным, то есть $x^4 \ge 0$.
Если к неотрицательному числу прибавить 2, результат будет строго положительным: $x^4 + 2 \ge 2$.
Так как выражение $x^4 + 2$ всегда положительно, модуль равен самому выражению.
$|x^4 + 2| = x^4 + 2$.
Ответ: $x^4 + 2$.

5) Рассмотрим выражение под модулем: $x^2 + x + \frac{1}{4}$.
Заметим, что данный трехчлен является формулой квадрата суммы: $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$.
В нашем случае $a=x$ и $b=\frac{1}{2}$, так как $x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 = x^2 + x + \frac{1}{4}$.
Таким образом, $x^2 + x + \frac{1}{4} = (x + \frac{1}{2})^2$.
Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(x + \frac{1}{2})^2 \ge 0$.
Следовательно, $|x^2 + x + \frac{1}{4}| = |(x + \frac{1}{2})^2| = (x + \frac{1}{2})^2 = x^2 + x + \frac{1}{4}$.
Ответ: $x^2 + x + \frac{1}{4}$.

6) Рассмотрим выражение под модулем: $x^2 + 4x + 5$.
Чтобы определить знак этого квадратного трехчлена, выделим в нем полный квадрат.
$x^2 + 4x + 5 = (x^2 + 4x + 4) - 4 + 5 = (x+2)^2 + 1$.
Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен, $(x+2)^2 \ge 0$ для любого $x$.
Тогда $(x+2)^2 + 1 \ge 1$.
Это означает, что выражение $x^2 + 4x + 5$ всегда положительно.
Следовательно, модуль равен самому выражению.
$|x^2 + 4x + 5| = x^2 + 4x + 5$.
Ответ: $x^2 + 4x + 5$.