Номер 11.41, страница 90 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 11. Системы и совокупности линейных неравенств с одной переменной - номер 11.41, страница 90.

Условие.

11.41. Упростите выражение $\left(\frac{x+9}{x+7}\right)^{-1} + \left(\frac{x+7}{x^2+81-18x} + \frac{x+5}{x^2-81}\right)\left(\frac{x+3}{x-9}\right)^{-2}$.

Решение.

Для упрощения данного выражения выполним действия по порядку.

1. Упростим первое слагаемое, используя свойство степени $a^{-1} = \frac{1}{a}$:

$(\frac{x+9}{x+7})^{-1} = \frac{x+7}{x+9}$

2. Преобразуем выражение в больших скобках. Для этого сначала упростим сумму дробей. Разложим знаменатели на множители.

Знаменатель первой дроби: $x^2+81-18x = x^2-18x+81 = (x-9)^2$.

Знаменатель второй дроби: $x^2-81 = (x-9)(x+9)$.

Теперь приведем дроби к общему знаменателю $(x-9)^2(x+9)$ и сложим их:

$\frac{x+7}{(x-9)^2} + \frac{x+5}{(x-9)(x+9)} = \frac{(x+7)(x+9)}{(x-9)^2(x+9)} + \frac{(x+5)(x-9)}{(x-9)^2(x+9)} = \frac{(x+7)(x+9) + (x+5)(x-9)}{(x-9)^2(x+9)}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$(x+7)(x+9) + (x+5)(x-9) = (x^2+9x+7x+63) + (x^2-9x+5x-45) = (x^2+16x+63) + (x^2-4x-45) = 2x^2+12x+18$

Вынесем общий множитель 2 за скобки и свернем выражение по формуле квадрата суммы:

$2x^2+12x+18 = 2(x^2+6x+9) = 2(x+3)^2$

Таким образом, выражение в скобках равно:

$\frac{2(x+3)^2}{(x-9)^2(x+9)}$

3. Упростим второй множитель, используя свойство степени $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$:

$(\frac{x+3}{x-9})^{-2} = (\frac{x-9}{x+3})^2 = \frac{(x-9)^2}{(x+3)^2}$

4. Теперь перемножим результаты шагов 2 и 3:

$(\frac{2(x+3)^2}{(x-9)^2(x+9)}) \cdot (\frac{(x-9)^2}{(x+3)^2}) = \frac{2 \cdot (x+3)^2 \cdot (x-9)^2}{(x-9)^2 \cdot (x+9) \cdot (x+3)^2}$

Сократим одинаковые множители $(x+3)^2$ и $(x-9)^2$ в числителе и знаменателе:

$\frac{2}{x+9}$

5. Сложим результат, полученный в шаге 1, с результатом шага 4:

$\frac{x+7}{x+9} + \frac{2}{x+9} = \frac{x+7+2}{x+9} = \frac{x+9}{x+9}$

При условии, что знаменатели в исходном выражении не равны нулю (т.е. $x \neq -9$, $x \neq -7$, $x \neq 9$, $x \neq -3$), полученное выражение равно 1.

Ответ: 1