Номер 11.36, страница 89 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 11. Системы и совокупности линейных неравенств с одной переменной - номер 11.36, страница 89.

Условие.

11.36. При каких значениях параметра $b$ наибольшим целым решением системы неравенств $\begin{cases} x \le b, \\ x < -2 \end{cases}$ является число $-6$?

Решение.

Решение данной системы неравенств является пересечением множеств решений каждого из неравенств, входящих в систему: $$ \begin{cases} x \le b, \\ x < -2 \end{cases} $$

Результат пересечения зависит от взаимного расположения $b$ и -2 на числовой оси. Рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: $b \ge -2$

Если $b$ не меньше -2, то множество решений первого неравенства $(-\infty; b]$ содержит в себе множество решений второго неравенства $(-\infty; -2)$. Следовательно, решением системы будет их пересечение, то есть $x < -2$. Целыми числами, удовлетворяющими этому неравенству, являются $\dots, -5, -4, -3$. Наибольшим целым решением в этом случае будет -3. Это противоречит условию задачи, согласно которому наибольшее целое решение должно быть равно -6. Таким образом, значения $b \ge -2$ не являются решением.

Случай 2: $b < -2$

Если $b$ меньше -2, то множество решений первого неравенства $(-\infty; b]$ является подмножеством множества решений второго неравенства $(-\infty; -2)$. В этом случае решением системы будет $x \le b$.

По условию, наибольшим целым решением системы должно быть число -6. Это означает, что целое число -6 должно входить в множество решений $x \le b$, а следующее за ним целое число, -5, не должно входить в это множество. Это можно записать в виде системы условий для параметра $b$:

$$ \begin{cases} -6 \le b \\ b < -5 \end{cases} $$

Объединяя эти условия, получаем двойное неравенство: $-6 \le b < -5$. Все значения $b$ из этого промежутка удовлетворяют исходному предположению для данного случая ($b < -2$). Следовательно, это и есть искомый диапазон значений параметра $b$.

Ответ: $b \in [-6; -5)$.