Номер 11.31, страница 89 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 11. Системы и совокупности линейных неравенств с одной переменной - номер 11.31, страница 89.

Условие.

11.31. Для каждого значения параметра $a$ решите систему неравенств

$\begin{cases} x < 2, \\ x \le a. \end{cases}$

Решение.

Для решения системы неравенств $\begin{cases} x < 2, \\ x \le a \end{cases}$ необходимо найти пересечение множеств решений каждого из неравенств. Решением первого неравенства является промежуток $(-\infty, 2)$, а решением второго — промежуток $(-\infty, a]$. Решение системы зависит от взаимного расположения чисел $a$ и $2$ на числовой оси.

Рассмотрим два возможных случая.

1. Если $a < 2$.

В этом случае, поскольку $a < 2$, любой $x$, удовлетворяющий неравенству $x \le a$, автоматически удовлетворяет и неравенству $x < 2$. Это означает, что множество решений второго неравенства является подмножеством множества решений первого. Следовательно, пересечением этих множеств будет множество $(-\infty, a]$.

2. Если $a \ge 2$.

В этом случае, поскольку $2 \le a$, любой $x$, удовлетворяющий неравенству $x < 2$, автоматически удовлетворяет и неравенству $x \le a$. Это означает, что множество решений первого неравенства является подмножеством множества решений второго. Следовательно, пересечением этих множеств будет множество $(-\infty, 2)$.

Ответ: при $a < 2$ решением является $x \in (-\infty, a]$; при $a \ge 2$ решением является $x \in (-\infty, 2)$.