Номер 11.24, страница 88 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 11. Системы и совокупности линейных неравенств с одной переменной - номер 11.24, страница 88.

Условие.

11.24. Решите неравенство:

1) $x^2(x+2) > 0;$

2) $x^2(x+2) \ge 0;$

3) $x^2(x-2) \ge 0;$

4) $x^2(x-2) < 0;$

5) $x^2(x+2) \le 0;$

6) $x^2(x-2) \le 0.$

Решение.

1) Решим неравенство $x^2(x + 2) > 0$.
Множитель $x^2$ является неотрицательным для любого действительного $x$ ($x^2 \ge 0$).
Для выполнения строгого неравенства ($>0$), левая часть не должна быть равна нулю. Это означает, что $x^2 \neq 0$ и $x+2 \neq 0$, то есть $x \neq 0$ и $x \neq -2$.
Поскольку при $x \neq 0$ множитель $x^2$ строго положителен, знак всего произведения определяется знаком множителя $(x+2)$.
Таким образом, неравенство сводится к системе:
$\begin{cases} x+2 > 0 \\ x \neq 0 \end{cases}$
Из первого неравенства получаем $x > -2$.
Совмещая с условием $x \neq 0$, получаем решение: $x \in (-2, 0) \cup (0, \infty)$.
Ответ: $(-2, 0) \cup (0, \infty)$.

2) Решим неравенство $x^2(x + 2) \ge 0$.
Множитель $x^2$ всегда неотрицателен. Произведение неотрицательно, если множитель $(x+2)$ также неотрицателен, или если $x^2=0$.
Рассмотрим два случая:
1. $x^2 = 0$, то есть $x = 0$. При подстановке в исходное неравенство получаем $0 \cdot (0+2) \ge 0$, или $0 \ge 0$, что является верным. Следовательно, $x=0$ является решением.
2. $x^2 > 0$, то есть $x \neq 0$. В этом случае мы можем разделить обе части неравенства на положительное число $x^2$, сохранив знак неравенства. Получаем $x+2 \ge 0$, откуда $x \ge -2$.
Объединяя решения из обоих случаев, получаем все значения $x$, удовлетворяющие условию $x \ge -2$. Точка $x=0$ уже входит в этот промежуток.
Ответ: $[-2, \infty)$.

3) Решим неравенство $x^2(x - 2) \ge 0$.
Решение аналогично предыдущему пункту. Множитель $x^2$ всегда неотрицателен.
Рассмотрим два случая:
1. $x = 0$. Неравенство принимает вид $0 \ge 0$, что верно. Значит, $x=0$ — решение.
2. $x \neq 0$. Тогда $x^2 > 0$, и неравенство равносильно $x-2 \ge 0$, то есть $x \ge 2$.
Объединяя полученные решения, получаем $x=0$ или $x \ge 2$.
Ответ: $\{0\} \cup [2, \infty)$.

4) Решим неравенство $x^2(x - 2) < 0$.
Для выполнения строгого неравенства ($<0$), левая часть не должна быть равна нулю, то есть $x \neq 0$ и $x \neq 2$.
При $x \neq 0$, множитель $x^2$ строго положителен. Следовательно, чтобы произведение было отрицательным, множитель $(x-2)$ должен быть отрицательным.
Неравенство сводится к системе:
$\begin{cases} x-2 < 0 \\ x \neq 0 \end{cases}$
Из первого неравенства получаем $x < 2$.
Учитывая условие $x \neq 0$, получаем решение: $x \in (-\infty, 0) \cup (0, 2)$.
Ответ: $(-\infty, 0) \cup (0, 2)$.

5) Решим неравенство $x^2(x + 2) \le 0$.
Множитель $x^2$ всегда неотрицателен. Произведение будет неположительным, если множитель $(x+2)$ неположителен, или если всё выражение равно нулю.
Рассмотрим два случая:
1. $x = 0$. Неравенство принимает вид $0 \le 0$, что верно. Значит, $x=0$ — решение.
2. $x \neq 0$. Тогда $x^2 > 0$, и неравенство равносильно $x+2 \le 0$, то есть $x \le -2$.
Объединяя полученные решения, получаем $x=0$ или $x \le -2$.
Ответ: $(-\infty, -2] \cup \{0\}$.

6) Решим неравенство $x^2(x - 2) \le 0$.
Множитель $x^2$ всегда неотрицателен.
Рассмотрим два случая:
1. $x = 0$. Неравенство принимает вид $0 \le 0$, что верно. Значит, $x=0$ — решение.
2. $x \neq 0$. Тогда $x^2 > 0$, и неравенство равносильно $x-2 \le 0$, то есть $x \le 2$. Решением для этого случая является множество $(-\infty, 0) \cup (0, 2]$.
Объединяя решение из второго случая с решением из первого случая ($x=0$), получаем полный промежуток от $-\infty$ до $2$.
Ответ: $(-\infty, 2]$.