Номер 11.17, страница 88 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 11. Системы и совокупности линейных неравенств с одной переменной - номер 11.17, страница 88.

Условие.

11.17. Решите систему неравенств:

1) $\begin{cases} x < 4, \\ x > 2, \\ x < 3,6; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 2x - 6 < 8, \\ 4 - 4x < 10, \\ 8x - 9 > 3; \end{cases}$

3) $\begin{cases} 0,4 - 8x \ge 3,6, \\ 1,5x - 2 < 4, \\ 4,1x + 10 < 1,6x + 5. \end{cases}$

Решение.

1)

Дана система неравенств:

$$ \begin{cases} x < 4, \\ x > 2, \\ x < 3,6; \end{cases} $$

Решением системы является пересечение множеств решений каждого из неравенств. Необходимо найти значения $x$, которые удовлетворяют всем трем условиям одновременно.

Из второго неравенства имеем $x > 2$.

Из первого и третьего неравенств ($x < 4$ и $x < 3,6$) следует, что нужно выбрать более строгое условие. Так как любое число, которое меньше 3,6, автоматически меньше 4, то достаточно учесть только неравенство $x < 3,6$.

Таким образом, система сводится к двум неравенствам:

$$ \begin{cases} x > 2, \\ x < 3,6; \end{cases} $$

Объединяя эти условия, получаем двойное неравенство: $2 < x < 3,6$.

Ответ: $(2; 3,6)$

2)

Дана система неравенств:

$$ \begin{cases} 2x - 6 < 8, \\ 4 - 4x < 10, \\ 8x - 9 > 3; \end{cases} $$

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

1. Первое неравенство:

$2x - 6 < 8$

$2x < 8 + 6$

$2x < 14$

$x < 7$

2. Второе неравенство:

$4 - 4x < 10$

$-4x < 10 - 4$

$-4x < 6$

Разделим обе части на -4, при этом знак неравенства меняется на противоположный:

$x > \frac{6}{-4}$

$x > -1,5$

3. Третье неравенство:

$8x - 9 > 3$

$8x > 3 + 9$

$8x > 12$

$x > \frac{12}{8}$

$x > 1,5$

Теперь найдем пересечение полученных решений: $x < 7$, $x > -1,5$ и $x > 1,5$.

Условие $x > 1,5$ является более строгим, чем $x > -1,5$. Таким образом, нам нужно найти значения $x$, которые одновременно больше 1,5 и меньше 7.

Объединяя условия, получаем: $1,5 < x < 7$.

Ответ: $(1,5; 7)$

3)

Дана система неравенств:

$$ \begin{cases} 0,4 - 8x \ge 3,6, \\ 1,5x - 2 < 4, \\ 4,1x + 10 < 1,6x + 5. \end{cases} $$

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

1. Первое неравенство:

$0,4 - 8x \ge 3,6$

$-8x \ge 3,6 - 0,4$

$-8x \ge 3,2$

Разделим обе части на -8, при этом знак неравенства меняется на противоположный:

$x \le \frac{3,2}{-8}$

$x \le -0,4$

2. Второе неравенство:

$1,5x - 2 < 4$

$1,5x < 4 + 2$

$1,5x < 6$

$x < \frac{6}{1,5}$

$x < 4$

3. Третье неравенство:

$4,1x + 10 < 1,6x + 5$

$4,1x - 1,6x < 5 - 10$

$2,5x < -5$

$x < \frac{-5}{2,5}$

$x < -2$

Теперь найдем пересечение полученных решений: $x \le -0,4$, $x < 4$ и $x < -2$.

Нужно найти значения $x$, которые удовлетворяют всем трем условиям. Условие $x < -2$ является самым строгим. Если число меньше -2, оно автоматически меньше 4 и меньше или равно -0,4. Следовательно, решение системы — это $x < -2$.

Ответ: $(-\infty; -2)$