Номер 11.12, страница 87 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 11. Системы и совокупности линейных неравенств с одной переменной - номер 11.12, страница 87.

Условие.

11.12. Найдите множество решений системы неравенств:

1) $ \begin{cases} \frac{2x - 3}{5} - \frac{4x - 9}{6} > 1 \\ 5(x - 1) + 7(x + 2) > 3 \end{cases} $

2) $ \begin{cases} \frac{x + 1}{2} - \frac{x + 2}{3} < \frac{x + 12}{6} \\ 0,3x - 19 \leq 1,7x - 5 \end{cases} $

3) $ \begin{cases} (x - 6)^2 < (x - 2)^2 - 8 \\ 3(2x - 1) - 8 < 34 - 3(5x - 9) \end{cases} $

4) $ \begin{cases} \frac{3x - 2}{3} - \frac{4x + 1}{4} \leq 1 \\ (x - 1)(x - 2) > (x + 4)(x - 7) \end{cases} $

Решение.

1)

Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} \frac{2x-3}{5} - \frac{4x-9}{6} > 1 \\ 5(x-1) + 7(x+2) > 3 \end{cases} $$

Сначала решим первое неравенство:

$\frac{2x-3}{5} - \frac{4x-9}{6} > 1$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель, который равен 30:

$30 \cdot \frac{2x-3}{5} - 30 \cdot \frac{4x-9}{6} > 30 \cdot 1$

$6(2x-3) - 5(4x-9) > 30$

Раскроем скобки:

$12x - 18 - 20x + 45 > 30$

Приведем подобные слагаемые:

$-8x + 27 > 30$

$-8x > 30 - 27$

$-8x > 3$

Разделим обе части на -8 и изменим знак неравенства на противоположный:

$x < -\frac{3}{8}$

Теперь решим второе неравенство:

$5(x-1) + 7(x+2) > 3$

Раскроем скобки:

$5x - 5 + 7x + 14 > 3$

Приведем подобные слагаемые:

$12x + 9 > 3$

$12x > 3 - 9$

$12x > -6$

$x > -\frac{6}{12}$

$x > -\frac{1}{2}$

Решением системы является пересечение множеств решений обоих неравенств: $x < -\frac{3}{8}$ и $x > -\frac{1}{2}$.

Объединяя оба условия, получаем интервал $(-\frac{1}{2}; -\frac{3}{8})$.

Ответ: $x \in (-\frac{1}{2}; -\frac{3}{8})$

2)

Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} \frac{x+1}{2} - \frac{x+2}{3} < \frac{x+12}{6} \\ 0,3x - 19 \le 1,7x - 5 \end{cases} $$

Решим первое неравенство:

$\frac{x+1}{2} - \frac{x+2}{3} < \frac{x+12}{6}$

Умножим обе части на общий знаменатель 6:

$6 \cdot \frac{x+1}{2} - 6 \cdot \frac{x+2}{3} < 6 \cdot \frac{x+12}{6}$

$3(x+1) - 2(x+2) < x+12$

$3x + 3 - 2x - 4 < x+12$

$x - 1 < x+12$

Перенесем $x$ в одну сторону:

$x - x < 12 + 1$

$0 < 13$

Это неравенство верно при любом значении $x$. Следовательно, решение первого неравенства — все действительные числа, $x \in (-\infty; +\infty)$.

Решим второе неравенство:

$0,3x - 19 \le 1,7x - 5$

Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а числа — в другую:

$-19 + 5 \le 1,7x - 0,3x$

$-14 \le 1,4x$

Разделим обе части на 1,4:

$\frac{-14}{1,4} \le x$

$-10 \le x$ или $x \ge -10$.

Решением системы является пересечение множеств $(-\infty; +\infty)$ и $[-10; +\infty)$, что равно $[-10; +\infty)$.

Ответ: $x \in [-10; +\infty)$

3)

Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} (x-6)^2 < (x-2)^2 - 8 \\ 3(2x-1) - 8 < 34 - 3(5x-9) \end{cases} $$

Решим первое неравенство:

$(x-6)^2 < (x-2)^2 - 8$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности:

$x^2 - 12x + 36 < (x^2 - 4x + 4) - 8$

$x^2 - 12x + 36 < x^2 - 4x - 4$

Сократим $x^2$ в обеих частях:

$-12x + 36 < -4x - 4$

$-12x + 4x < -4 - 36$

$-8x < -40$

Разделим на -8 и сменим знак неравенства:

$x > 5$

Решим второе неравенство:

$3(2x-1) - 8 < 34 - 3(5x-9)$

Раскроем скобки:

$6x - 3 - 8 < 34 - 15x + 27$

$6x - 11 < 61 - 15x$

$6x + 15x < 61 + 11$

$21x < 72$

$x < \frac{72}{21}$

Сократим дробь на 3:

$x < \frac{24}{7}$

Теперь найдем пересечение решений: $x > 5$ и $x < \frac{24}{7}$.

Поскольку $\frac{24}{7} = 3\frac{3}{7}$, то второе неравенство $x < 3\frac{3}{7}$.

Не существует числа, которое одновременно больше 5 и меньше $3\frac{3}{7}$. Следовательно, система не имеет решений.

Ответ: $\emptyset$ (решений нет)

4)

Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} \frac{3x-2}{3} - \frac{4x+1}{4} \le 1 \\ (x-1)(x-2) > (x+4)(x-7) \end{cases} $$

Решим первое неравенство:

$\frac{3x-2}{3} - \frac{4x+1}{4} \le 1$

Умножим обе части на общий знаменатель 12:

$12 \cdot \frac{3x-2}{3} - 12 \cdot \frac{4x+1}{4} \le 12 \cdot 1$

$4(3x-2) - 3(4x+1) \le 12$

$12x - 8 - 12x - 3 \le 12$

$-11 \le 12$

Это неравенство верно при любом значении $x$, так как -11 всегда меньше или равно 12. Решение: $x \in (-\infty; +\infty)$.

Решим второе неравенство:

$(x-1)(x-2) > (x+4)(x-7)$

Раскроем скобки в обеих частях:

$x^2 - 2x - x + 2 > x^2 - 7x + 4x - 28$

$x^2 - 3x + 2 > x^2 - 3x - 28$

Сократим $x^2$ и $-3x$ в обеих частях:

$2 > -28$

Это неравенство также верно при любом значении $x$. Решение: $x \in (-\infty; +\infty)$.

Поскольку оба неравенства верны для всех действительных чисел, решением системы является пересечение множеств $(-\infty; +\infty)$ и $(-\infty; +\infty)$, то есть все действительные числа.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$