Номер 11.12, страница 87 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков
 
                                                Авторы: Мерзляк А. Г., Поляков В. М.
Тип: Учебник
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: розовый
ISBN: 978-5-09-087881-4
Популярные ГДЗ в 8 классе
Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 11. Системы и совокупности линейных неравенств с одной переменной - номер 11.12, страница 87.
№11.12 (с. 87)
Условие. №11.12 (с. 87)
скриншот условия
 
                                11.12. Найдите множество решений системы неравенств:
1) $ \begin{cases} \frac{2x - 3}{5} - \frac{4x - 9}{6} > 1 \\ 5(x - 1) + 7(x + 2) > 3 \end{cases} $
2) $ \begin{cases} \frac{x + 1}{2} - \frac{x + 2}{3} < \frac{x + 12}{6} \\ 0,3x - 19 \leq 1,7x - 5 \end{cases} $
3) $ \begin{cases} (x - 6)^2 < (x - 2)^2 - 8 \\ 3(2x - 1) - 8 < 34 - 3(5x - 9) \end{cases} $
4) $ \begin{cases} \frac{3x - 2}{3} - \frac{4x + 1}{4} \leq 1 \\ (x - 1)(x - 2) > (x + 4)(x - 7) \end{cases} $
Решение. №11.12 (с. 87)
1)
Решим систему неравенств:
$$ \begin{cases} \frac{2x-3}{5} - \frac{4x-9}{6} > 1 \\ 5(x-1) + 7(x+2) > 3 \end{cases} $$
Сначала решим первое неравенство:
$\frac{2x-3}{5} - \frac{4x-9}{6} > 1$
Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель, который равен 30:
$30 \cdot \frac{2x-3}{5} - 30 \cdot \frac{4x-9}{6} > 30 \cdot 1$
$6(2x-3) - 5(4x-9) > 30$
Раскроем скобки:
$12x - 18 - 20x + 45 > 30$
Приведем подобные слагаемые:
$-8x + 27 > 30$
$-8x > 30 - 27$
$-8x > 3$
Разделим обе части на -8 и изменим знак неравенства на противоположный:
$x < -\frac{3}{8}$
Теперь решим второе неравенство:
$5(x-1) + 7(x+2) > 3$
Раскроем скобки:
$5x - 5 + 7x + 14 > 3$
Приведем подобные слагаемые:
$12x + 9 > 3$
$12x > 3 - 9$
$12x > -6$
$x > -\frac{6}{12}$
$x > -\frac{1}{2}$
Решением системы является пересечение множеств решений обоих неравенств: $x < -\frac{3}{8}$ и $x > -\frac{1}{2}$.
Объединяя оба условия, получаем интервал $(-\frac{1}{2}; -\frac{3}{8})$.
Ответ: $x \in (-\frac{1}{2}; -\frac{3}{8})$
2)
Решим систему неравенств:
$$ \begin{cases} \frac{x+1}{2} - \frac{x+2}{3} < \frac{x+12}{6} \\ 0,3x - 19 \le 1,7x - 5 \end{cases} $$
Решим первое неравенство:
$\frac{x+1}{2} - \frac{x+2}{3} < \frac{x+12}{6}$
Умножим обе части на общий знаменатель 6:
$6 \cdot \frac{x+1}{2} - 6 \cdot \frac{x+2}{3} < 6 \cdot \frac{x+12}{6}$
$3(x+1) - 2(x+2) < x+12$
$3x + 3 - 2x - 4 < x+12$
$x - 1 < x+12$
Перенесем $x$ в одну сторону:
$x - x < 12 + 1$
$0 < 13$
Это неравенство верно при любом значении $x$. Следовательно, решение первого неравенства — все действительные числа, $x \in (-\infty; +\infty)$.
Решим второе неравенство:
$0,3x - 19 \le 1,7x - 5$
Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а числа — в другую:
$-19 + 5 \le 1,7x - 0,3x$
$-14 \le 1,4x$
Разделим обе части на 1,4:
$\frac{-14}{1,4} \le x$
$-10 \le x$ или $x \ge -10$.
Решением системы является пересечение множеств $(-\infty; +\infty)$ и $[-10; +\infty)$, что равно $[-10; +\infty)$.
Ответ: $x \in [-10; +\infty)$
3)
Решим систему неравенств:
$$ \begin{cases} (x-6)^2 < (x-2)^2 - 8 \\ 3(2x-1) - 8 < 34 - 3(5x-9) \end{cases} $$
Решим первое неравенство:
$(x-6)^2 < (x-2)^2 - 8$
Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности:
$x^2 - 12x + 36 < (x^2 - 4x + 4) - 8$
$x^2 - 12x + 36 < x^2 - 4x - 4$
Сократим $x^2$ в обеих частях:
$-12x + 36 < -4x - 4$
$-12x + 4x < -4 - 36$
$-8x < -40$
Разделим на -8 и сменим знак неравенства:
$x > 5$
Решим второе неравенство:
$3(2x-1) - 8 < 34 - 3(5x-9)$
Раскроем скобки:
$6x - 3 - 8 < 34 - 15x + 27$
$6x - 11 < 61 - 15x$
$6x + 15x < 61 + 11$
$21x < 72$
$x < \frac{72}{21}$
Сократим дробь на 3:
$x < \frac{24}{7}$
Теперь найдем пересечение решений: $x > 5$ и $x < \frac{24}{7}$.
Поскольку $\frac{24}{7} = 3\frac{3}{7}$, то второе неравенство $x < 3\frac{3}{7}$.
Не существует числа, которое одновременно больше 5 и меньше $3\frac{3}{7}$. Следовательно, система не имеет решений.
Ответ: $\emptyset$ (решений нет)
4)
Решим систему неравенств:
$$ \begin{cases} \frac{3x-2}{3} - \frac{4x+1}{4} \le 1 \\ (x-1)(x-2) > (x+4)(x-7) \end{cases} $$
Решим первое неравенство:
$\frac{3x-2}{3} - \frac{4x+1}{4} \le 1$
Умножим обе части на общий знаменатель 12:
$12 \cdot \frac{3x-2}{3} - 12 \cdot \frac{4x+1}{4} \le 12 \cdot 1$
$4(3x-2) - 3(4x+1) \le 12$
$12x - 8 - 12x - 3 \le 12$
$-11 \le 12$
Это неравенство верно при любом значении $x$, так как -11 всегда меньше или равно 12. Решение: $x \in (-\infty; +\infty)$.
Решим второе неравенство:
$(x-1)(x-2) > (x+4)(x-7)$
Раскроем скобки в обеих частях:
$x^2 - 2x - x + 2 > x^2 - 7x + 4x - 28$
$x^2 - 3x + 2 > x^2 - 3x - 28$
Сократим $x^2$ и $-3x$ в обеих частях:
$2 > -28$
Это неравенство также верно при любом значении $x$. Решение: $x \in (-\infty; +\infty)$.
Поскольку оба неравенства верны для всех действительных чисел, решением системы является пересечение множеств $(-\infty; +\infty)$ и $(-\infty; +\infty)$, то есть все действительные числа.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 11.12 расположенного на странице 87 к учебнику серии алгоритм успеха 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №11.12 (с. 87), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.
 
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                    