Номер 11.7, страница 86 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 2. Рациональные уравнения. Неравенства. Параграф 11. Системы и совокупности линейных неравенств с одной переменной - номер 11.7, страница 86.

Условие.

11.7. Решите систему неравенств:

1) $\begin{cases} x - 2 > 3, \\ -3x < -12; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 6x + 3 \ge 0, \\ 7 - 4x < 7; \end{cases}$

3) $\begin{cases} 10x - 1 \ge 3, \\ 7 - 3x \ge 2x - 3; \end{cases}$

4) $\begin{cases} 3x - 6 \le x - 1, \\ 11x + 13 < x + 3; \end{cases}$

5) $\begin{cases} 5x + 14 \ge 18 - x, \\ 1.5x + 1 < 3x - 2; \end{cases}$

6) $\begin{cases} 4x + 19 \le 5x - 1, \\ 10x < 3x + 21. \end{cases}$

Решение.

1)

Дана система неравенств: $ \begin{cases} x - 2 > 3, \\ -3x < -12. \end{cases} $

Решим каждое неравенство по отдельности.

Первое неравенство:
$x - 2 > 3$
Перенесем -2 в правую часть с противоположным знаком:
$x > 3 + 2$
$x > 5$

Второе неравенство:
$-3x < -12$
Разделим обе части на -3. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$x > \frac{-12}{-3}$
$x > 4$

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств: $x > 5$ и $x > 4$. Область, удовлетворяющая обоим условиям, — это $x > 5$.
Решение системы — это интервал $(5; +\infty)$.

Ответ: $(5; +\infty)$

2)

Дана система неравенств: $ \begin{cases} 6x + 3 \ge 0, \\ 7 - 4x < 7. \end{cases} $

Решим каждое неравенство по отдельности.

Первое неравенство:
$6x + 3 \ge 0$
$6x \ge -3$
$x \ge \frac{-3}{6}$
$x \ge -0.5$

Второе неравенство:
$7 - 4x < 7$
$-4x < 7 - 7$
$-4x < 0$
Разделим обе части на -4, меняя знак неравенства:
$x > 0$

Найдем пересечение решений: $x \ge -0.5$ и $x > 0$. Общим решением является $x > 0$.
Решение системы — это интервал $(0; +\infty)$.

Ответ: $(0; +\infty)$

3)

Дана система неравенств: $ \begin{cases} 10x - 1 \ge 3, \\ 7 - 3x \ge 2x - 3. \end{cases} $

Решим каждое неравенство по отдельности.

Первое неравенство:
$10x - 1 \ge 3$
$10x \ge 3 + 1$
$10x \ge 4$
$x \ge \frac{4}{10}$
$x \ge 0.4$

Второе неравенство:
$7 - 3x \ge 2x - 3$
Перенесем члены с $x$ в одну сторону, а константы — в другую:
$7 + 3 \ge 2x + 3x$
$10 \ge 5x$
$2 \ge x$, что эквивалентно $x \le 2$.

Найдем пересечение решений: $x \ge 0.4$ и $x \le 2$. Это можно записать в виде двойного неравенства $0.4 \le x \le 2$.
Решение системы — это отрезок $[0.4; 2]$.

Ответ: $[0.4; 2]$

4)

Дана система неравенств: $ \begin{cases} 3x - 6 \le x - 1, \\ 11x + 13 < x + 3. \end{cases} $

Решим каждое неравенство по отдельности.

Первое неравенство:
$3x - 6 \le x - 1$
$3x - x \le -1 + 6$
$2x \le 5$
$x \le 2.5$

Второе неравенство:
$11x + 13 < x + 3$
$11x - x < 3 - 13$
$10x < -10$
$x < -1$

Найдем пересечение решений: $x \le 2.5$ и $x < -1$. Общим решением является $x < -1$.
Решение системы — это интервал $(-\infty; -1)$.

Ответ: $(-\infty; -1)$

5)

Дана система неравенств: $ \begin{cases} 5x + 14 \ge 18 - x, \\ 1.5x + 1 < 3x - 2. \end{cases} $

Решим каждое неравенство по отдельности.

Первое неравенство:
$5x + 14 \ge 18 - x$
$5x + x \ge 18 - 14$
$6x \ge 4$
$x \ge \frac{4}{6}$
$x \ge \frac{2}{3}$

Второе неравенство:
$1.5x + 1 < 3x - 2$
$1 + 2 < 3x - 1.5x$
$3 < 1.5x$
$\frac{3}{1.5} < x$
$2 < x$, что эквивалентно $x > 2$.

Найдем пересечение решений: $x \ge \frac{2}{3}$ и $x > 2$. Общим решением является $x > 2$.
Решение системы — это интервал $(2; +\infty)$.

Ответ: $(2; +\infty)$

6)

Дана система неравенств: $ \begin{cases} 4x + 19 \le 5x - 1, \\ 10x < 3x + 21. \end{cases} $

Решим каждое неравенство по отдельности.

Первое неравенство:
$4x + 19 \le 5x - 1$
$19 + 1 \le 5x - 4x$
$20 \le x$, что эквивалентно $x \ge 20$.

Второе неравенство:
$10x < 3x + 21$
$10x - 3x < 21$
$7x < 21$
$x < 3$

Найдем пересечение решений: $x \ge 20$ и $x < 3$. Нет чисел, которые одновременно больше или равны 20 и меньше 3. Следовательно, система не имеет решений.

Ответ: Нет решений